16、数学形态学：理论、应用与操作详解

数学形态学：理论、应用与操作详解

1. 膨胀和腐蚀的性质

在形态学操作中，膨胀和腐蚀是两个基础且重要的操作，它们具有多种性质：
- 交换律 ：膨胀操作满足交换律，即对于任意图像 (A) 和 (B)，有 (A \oplus B = B \oplus A)。这意味着在进行膨胀操作时，操作的顺序不会影响最终结果。
- 结合律 ：膨胀操作也满足结合律，即 ((A \oplus B) \oplus C = A \oplus (B \oplus C))。这允许我们以任意方式组合图像进行膨胀操作，而不改变最终结果。
- 分配律 ：当需要用两个图像的并集对一个图像进行膨胀时，可以先分别对每个图像进行膨胀，然后再取并集。用数学表达式表示为 (A \oplus (B \cup C) = (A \oplus B) \cup (A \oplus C))。
- 递增性 ：如果 (A \subseteq B)，那么对于任意结构元素 (K)，都有 (A \oplus K \subseteq B \oplus K)。当一个操作符满足此性质时，我们称其为“递增”操作符。下面给出一个证明示例：
- 设集合 (A) 由元素 (A_i) 组成，即 (A = {A_1, A_2, \ldots, A_n})，集合 (B) 也类似表示。假设 (B \subseteq A)，并且 (A) 和 (B) 都由同一个结构元素 (K) 进行膨胀。
- 取 (K) 中的一个元素 (K_1)，对 (A) 中的每个元素进行膨胀，得到 (A \oplus K_1 = {A