14、图像优化与恢复技术：均值场退火及相关算法解析

图像优化与恢复技术：均值场退火及相关算法解析

1. 均值场退火与边缘保留平滑

在图像优化与恢复领域，均值场退火（MFA）是一种重要的方法，特别是在边缘保留平滑方面有着显著的应用。我们选择一个目标函数，它既能保证恢复图像与测量图像的保真度，又具有分段线性的特性，其表达式如下：
[H( f ) = \sum_{i} \frac{( f_i - g_i)^2}{2\sigma^2} - \lambda \sum_{i} \exp\left(-\frac{(R( f ))_i^2}{\eta^2}\right)]
其中，((R( f ))_i) 是像素 (i) 处的二次变化。在具体应用中，可能会使用不同的先验信息。

为了进行梯度下降，我们需要求出目标函数关于 (f) 的导数。由于指数项的分子在 (x) 和 (y) 方向上都有变化，这个问题变得复杂。我们有两种选择：
- 方法一：认识到 (R) 是三项之和，指数的和等于指数的乘积，然后使用乘积法则来构造导数的复杂表达式。
- 方法二：不将求和放在指数的参数中，而是直接对指数进行求和。

由于第二种方法更易于实现，我们选择了它。下面是具体的算法步骤：
1. 噪声项的导数 ：在每次迭代中，像素 (i) 的变化为 (d_{noise_i} = \frac{( f_i - g_i)}{\sigma^2})。
2. 先验项的导数 ：根据公式，先验项的导数为 (\lambda \left(\left(\frac{f \otimes \Phi}{\eta^2}\right) \exp\left(-\frac{( f \ot