13、图像修复与特征提取中的平均场退火算法详解

图像修复与特征提取中的平均场退火算法详解

1. 平均场退火算法概述

平均场退火（MFA）是一种用于寻找复杂函数良好最小值的技术，这类复杂函数通常存在多个局部最小值。它近似于“模拟退火”（SA）这一随机算法，SA 已被证明即使对于非凸问题，也能以概率收敛到全局最小值，但收敛时间过长。MFA 就是为了加速收敛而衍生出的技术之一。

自 1989 年引入以来，MFA 在多个领域得到了应用：
- 局部均匀和局部平滑图像的恢复。
- 图像分割。
- 运动分析。
- 传感器融合。

MFA 基于模拟退火和统计力学中的平均场近似这两个概念。早期的 MFA 研究借鉴了模拟退火的思路，并借助与统计力学的类比来解释该技术。不过后来发现，这种类比虽有启发性且正确，但并非必要，MFA 也可纯粹从信息论的角度推导得出。

“MFA”这个术语可能会让人混淆，它首先代表一种推导算法的技术，其次也代表一类图像恢复算法。这些算法将图像恢复问题转化为最小化问题，然后通过平均场近似方法推导出最小化方法，该方法结合了梯度下降和“退火”，即算法过程中控制参数（“温度”）的单调变化。

另一种流行的图像去噪技术“渐进非凸性”（GNC）与 MFA 有很多相似之处，GNC 也使用下降方法并降低控制参数，甚至可以基于 MFA 推导得出。

2. 目标函数与 MFA 推导

在图像恢复中，为了得到既与测量数据相似，又由均匀亮度区域和突变边缘组成的恢复图像，我们需要构建一个目标函数。

首先，考虑对局部亮度变化的惩罚。假设局部亮度变化是由噪声引起的，较大的变化应受到更重的惩罚，但边缘处的亮度变化不应被惩罚