8、数字图像中的线性算子与核应用全解析

数字图像中的线性算子与核应用全解析

在数字图像处理领域，核算子和线性算子是非常重要的概念，它们在图像的各种处理任务中发挥着关键作用。本文将深入探讨核算子在数字图像中的应用，包括卷积与相关的区别、利用核估计导数的方法、通过函数拟合估计导数、图像的向量表示以及基向量的运用，最后介绍边缘检测的相关内容。

1. 核算子在数字图像中的应用

为了更好地理解核算子在数字图像中的应用，我们首先将核 (h) 表示为一个 (3×3) 的数字网格，如下表所示：
| | | |
| — | — | — |
| (h(-1, -1)) | (h(0, -1)) | (h(1, -1)) |
| (h(-1, 0)) | (h(0, 0)) | (h(1, 0)) |
| (h(-1, 1)) | (h(0, 1)) | (h(1, 1)) |

我们将这个网格放置在图像上，使网格的中心正好位于像素 (f(x, y)) 上方，然后将网格中的每个 (h) 值与图像中对应的点相乘。这个网格就被称为“核”。

1.1 卷积与相关

在处理核算子时，有两个重要的方程需要关注。首先是核算子的方程：
[g(x, y) = \sum_{\Delta}\sum_{\Gamma} f(x + \Delta, y + \Gamma)h(\Delta, \Gamma)]

另一个是二维离散卷积的方程：
[g(x, y) = \sum_{\Delta}\sum_{\Gamma} f(x - \Delta, y - \Gamma)h(\Delta, \Gamma)]

可以注意到这两个方程在