4、图学习方法：从传统到随机游走的全面解析

图学习方法：从传统到随机游走的全面解析

1. 传统图学习方法

传统的图学习方法在图数据处理中有着重要的地位。其中，谱聚类是一种强大的图聚类技术。

1.1 谱聚类基础

谱聚类通过移除离散条件，将最小化问题简化为对实值向量的操作。具体来说，要解决的优化问题为：
[
\begin{align }
\min_{a\in\mathbb{R}^{|V|}}& \quad a^TLa\
\text{s.t.}& \quad a \perp \mathbf{1}\
& \quad |a|_2 = |V|
\end{align }
]
根据瑞利 - 里兹定理，该优化问题的解由拉普拉斯矩阵 (L) 的第二小特征向量给出（因为最小特征向量等于全 1 向量）。为了将这个实值向量转换为离散的聚类分配，我们可以根据 (a[u]) 的符号来分配节点到不同的聚类中：
[
u \in A \text{ if } a[u] \geq 0; \quad u \in \overline{A} \text{ if } a[u] < 0
]
这表明拉普拉斯矩阵的第二小特征向量是对离散向量的连续近似，该离散向量给出了关于 RatioCut 的最优聚类分配。对于 NCut 值的近似，依赖于归一化拉普拉斯矩阵 (L_{RW}) 的第二小特征向量。

1.2 广义谱聚类

谱聚类的思想可以扩展到将图划分为 (K) 个聚类的情况。具体步骤如下：
1. 找到拉普拉斯矩阵 (L) 的 (K) 个最小特征向量（不包括