10、贝叶斯学习：从理论到实践的全面解析

贝叶斯学习：从理论到实践的全面解析

1. 缓慢变化模式的贝叶斯学习

在贝叶斯学习中，对于一些问题，我们假设学习的参数是固定但未知的。然而，在实际情况中，存在参数会以随机方式缓慢变化的情况。为了说明这一点，我们以学习高斯分布的均值向量 $M$ 为例。

假设 $M$ 的变化相对于学习观测的观测时间来说是缓慢的，即从一次观测到下一次观测，$M$ 仅有微小的变化。其数学表达式为：
$p(X/M_n) = [(2\pi)^{n/2} |K|^{1/2}]^{-1} \exp[-\frac{1}{2}(X - M_n)^T K^{-1}(X - M_n)]$
其中，$M_n$ 是 $n$ 的函数，需要从一系列分类学习观测 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 中学习得到。设 $X_n = M_n + \eta_n$，这里 $\eta_n$ 是测量中包含的（均值为零）噪声分量，且 $\cdots, \eta_{n - 1}, \eta_n, \eta_{n + 1}, \cdots$ 相互统计独立，同时 $\eta_n$ 与 $M_n$ 也相互独立。

由于 $M_n$ 具有缓慢变化的特性，我们假设 $M_n$ 是由随机游走过程发展而来，随机步长为独立的高斯向量 $A_n$，即：
$M_n = M_{n - 1} + A_{n - 1}$
$M_{n + 1} = M_n + A_n = M_{n - 1} + A_{n - 1} + A_n = \cdots = M_0 + A_0 + A_1 + \cdots + A_n$
其中，$A_n$ 是均值为零、协方差矩阵为 $K_d$ 的高斯分布。但这种模型在应用时存在不便，因为随着 $n