4、计算机视觉中的优化工具与相机估计

计算机视觉中的优化工具与相机估计

1. 优化工具概述

优化是在指定域内寻找函数最小值的过程，在计算机视觉中至关重要，因为该领域涉及模型估计，我们希望为模型做出最佳估计。以下是几种常见的优化算法：

1.1 区间上函数的最小化

最基本的优化问题是在实数域上寻找函数的最小值，这里介绍黄金分割算法，用于寻找单峰实函数 $f : [0, ∞] → R$ 的最小值。单峰函数指的是在 $[0, t_1]$ 上单调递减，在 $[t_2, ∞]$ 上单调递增的函数。
- 算法步骤 ：
1. 设函数 $f$ 的最小值在区间 $[a, b] ⊂ [0, ∞]$ 内，选择 $u = a + α(b - a)$ 和 $v = a + β(b - a)$，其中 $α = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$，$β = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$。
2. 比较 $f(u)$ 和 $f(v)$ 的大小：
- 若 $f(u) < f(v)$，则区间 $[v, b]$ 不可能包含最小值，舍弃该区间。
- 若 $f(u) \geq f(v)$，则区间 $[a, u]$ 不可能包含最小值，舍弃该区间。
3. 重复上述步骤，不断缩小区间，直到区间足够小。
4. 最终，取区间内两个点的平均值作为最小值的估计。

1.2 最小二乘法

给定一个 $m × n$ 的矩阵 $A$（$m > n$）和向量 $b \in R^n$，我们要找到 $\hat{x} \in R^n$，使得 $||Ax - b||^2$ 最小。
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