2、虚拟相机与投影几何知识详解

虚拟相机与投影几何知识详解

1. 投影几何概念

1.1 投影空间

投影空间在投影几何中是一个基础概念。维度为 $n$ 的投影空间，记为 $\mathbb{RP}^n$，它是 $\mathbb{R}^{n + 1}$ 中所有过原点的直线的集合。

在 $\mathbb{RP}^n$ 中的一个点 $p$ 是一个等价类 $p = (\lambda x_1, \lambda x_2, \ldots, \lambda x_{n + 1})$，其中 $\lambda \neq 0$。也就是说，$p = (x_1, \ldots, x_{n + 1}) \equiv (\lambda x_1, \lambda x_2, \ldots, \lambda x_{n + 1}) = \lambda p$。这种尺度的不确定性意味着投影空间是由齐次坐标定义的。

投影空间 $\mathbb{RP}^n$ 可以分解为两个集合：仿射空间 $\mathbb{R}^n$ 和理想点空间。仿射空间 $\mathbb{R}^n$ 定义为投影点的集合，这些点可以乘以某个常数使得 $x_{n + 1} = 1$；理想点空间则满足 $x_{n + 1} = 0$。用数学表达式表示为：$\mathbb{RP}^n = {(x_1, \ldots, x_{n + 1}), x_{n + 1} \neq 0} \cup {(x_1, \ldots, x_n, 0)}$。

1.2 投影变换

如果一个函数 $T : \mathbb{RP}^n \to \mathbb{RP}^m$ 作为函数 $T : \mathbb{R}^{n + 1} \to \mathbb{R}^{