12、3D 成像几何与坐标系统转换详解

3D 成像几何与坐标系统转换详解

1. 3D 成像概述

3D 成像的过程主要是捕捉 3D 世界中的图像，其核心任务是开发出能够模拟人类视觉过程的成像系统。我们可以从不同视角的相机所拍摄的多个 2D 图像中恢复 3D 信息。3D 成像主要分为以下三类：
- 平面成像 ：对平面进行成像，这是基础的成像类型，在很多图像处理相关资料中都有涉及。
- 表面成像 ：针对非平面物体的表面进行分析成像。
- 3D 物体成像 ：处理 3D 物体的成像。

2. 图像形成

图像形成过程涉及能量转换和处理，具体步骤如下：
1. 能量转换 ：3D 世界中的能量通过相机或电光传感器等成像系统转换为二维实体，即图像。
2. 采样与量化 ：获取图像后，对 2D 图像进行空间采样和量化，使数字图像在空间坐标和亮度上都实现数字化。

图像形成包含辐射和几何两个方面：

2.1 辐射方面

辐射方面将物体的辐射亮度与图像平面的辐照度联系起来，这取决于物体发射的辐射量、成像系统收集的辐射量以及最终传感器接收到的辐射量。图像中的每个点都有一个与 3D 世界中对应点相关的特征灰度级（强度值），由亮度和反射率分量表示。这些分量在整个图像范围内变化，可用于进行边缘、线条、阴影、纹理等低级成像检测。

2.2 几何方面

几何方面则是将物体在 3D 空间中的位置与其在图像平面中的位置相关联。图像形成的基本难点在于 3D 世界被投影到 2D 图像平面上，要解读 3D 世界的信息，就需要理解投影的方式。通过对成像过程进行精细建模，我们可以将相机有效地建模为针孔模型，此时 3D 世界到图像平面的映射/投影被称为透视投影。在透视投影中，3D 世界中物体的一个给定点只有一条光线被允许穿过针孔，并在图像平面上形成一个点像，这种模型能有效且充分地模拟成像过程，在成像系统中被广泛应用。下面我们先探讨一维透视投影的原理。

2.3 一维透视投影

为了说明透视投影的概念，我们考虑一个在二维世界中拍摄一维图片的相机。为了简化，假设相机相关的坐标系与世界坐标系重合。相机镜头位于原点并直接指向 Y 轴，为了使图像保持正方向，我们假设图像线位于相机镜头前方距离为 f 的位置，镜头向其投影，这样可以避免镜头后方图像左右反转的混淆，且图像线平行于 X 轴。

根据几何光线光学原理，光线会将点 (r, s) 聚焦到图像线上，该图像线平行于 X 轴且位于镜头正前方距离为 f 的位置。图像线上点的位置由从点 (r, s) 到原点的直线与图像线的交点确定。因此，在原始二维坐标系中，透视投影的坐标为 (rf/s, f)。可以看出，点与其图像之间的关系是非线性的，但 rf/s 的分子和分母是 r 和 s 的线性组合，这表明相机通过投影坐标中的线性变换 T 将点 (r, s) 转换为图像点 I。这可以通过齐次坐标系来进行说明，点 (r, s) 在齐次坐标系中表示为 (r, s, 1)。第一个线性变换将点 (r, s, 1) 沿 Y 轴向下平移距离 f，第二个变换将其进行透视变换到图像线。

以下是相关的变换公式：

⎛ 1 ⎞   ⎛ 1  0  0 -f ⎞ ⎛ 1  0  0 ⎞ ⎛ r ⎞   ⎛ kv ⎞
⎜ s ⎟ = ⎜ 0  1  0  0 ⎟ ⎜ 0  1  0 ⎟ ⎜ s ⎟   ⎜ ku ⎟
⎝ r ⎠   ⎝ 0  0  1  0 ⎠ ⎝ 0  0  1 ⎠ ⎝ 1 ⎠   ⎝  1  ⎠

2.4 3D 透视投影

相机被建模为具有光学中心和通常垂直于光轴的图像平面的针孔模型。当成像系统从不同方向和位置对场景进行成像时，会使用多个坐标系，主要包括：
- 世界或用户选择的坐标系 ：与观察场景相关。
- 相机坐标系 ：通常以光学中心为中心，Z 轴沿相机的光轴方向。
- 图像平面中心坐标系 ：与相机坐标系对齐，从光学中心平移距离 f。
- 基于传感器的坐标系 ：与传感器相连，取决于像素矩阵的排列。

为了简化，我们假设光学中心为相机坐标系的原点，投影平面位于 (0, 0, -f)，即光学中心后方距离为 f 的位置，f 被称为主距或相机焦距。最初，我们假设世界坐标系与相机坐标系对齐。

在 3D 投影中，空间坐标为 (x, y, z) 的点被映射到图像平面上的图像 I(u, v)。根据透视投影原理，有以下关系：

u = -fx/z
v = -fy/z

3D 投影系统具有以下特性：
1. 与图像平面平行的两个世界坐标会按因子 f/z 进行缩放，因此图像坐标包含世界坐标的比值。
2. 透视投影的成像模型会将世界中的直线映射到图像平面上的直线，但不保留点之间的距离及其比值。例如，若 A、B、C 在 3D 空间中共线，则 AC/BC ≠ ac/bc，其中 AC 和 BC 表示 3D 空间中 A、B 以及 B、C 之间的距离，ac 和 bc 表示对应投影点在图像平面上的距离。此外，从图中可以看出，位于线段 PO 上的任何物体点都会被投影到同一点 I，这表明透视投影是多对一的变换。
3. 上述投影公式本质上是非线性的，因为涉及到除以 z 的运算，但分子和分母是线性组合。通常希望通过线性变换来表示从 3D 到 2D 的映射，这就需要使用齐次坐标系。3D 空间中物理点 (x, y, z) 的齐次坐标由 4×1 向量 (kx, ky, kz, k) 表示，其中 k 是任意标量。要将齐次系统转换回物理坐标系，需将所有分量除以 k 并删除包含 k 的行。

以下是 3D - 2D 变换的线性矩阵形式：

⎛ k  ⎞   ⎛ 0  0  0  1 ⎞ ⎛ 1  0  0  0 ⎞ ⎛ 1  0  0 -f ⎞ ⎛ x ⎞
⎜ kw ⎟ = ⎜ 0  1  0  0 ⎟ ⎜ 0  1  0  0 ⎟ ⎜ 0  1  0  0 ⎟ ⎜ y ⎟
⎜ kv ⎟   ⎜ 0  0  1  0 ⎟ ⎜ 0  0  1  0 ⎟ ⎜ 0  0  1  0 ⎟ ⎜ z ⎟
⎝ ku ⎠   ⎝ 0  0  0  1 ⎠ ⎝ 0  0  0  1 ⎠ ⎝ 0  0  0  1 ⎠ ⎝ 1 ⎠

如果我们尝试通过线性变换矩阵的逆与图像平面坐标的乘积来恢复 3D 物体点的坐标，会得到错误的结果或产生歧义，这是因为透视矩阵具有多对一的变换特性。要重建 3D 点，至少需要知道一个 3D 坐标。如果我们尝试以图像平面为中心的坐标系来表示图像平面坐标，就需要将坐标系从透视中心沿光轴平移距离 f 到图像平面。此时，点由两个坐标 (u, v) 表示，齐次表示为 (ku, kv, k)，其中 w = 0。因此，需要删除线性变换矩阵中的第三行，该矩阵也称为透视矩阵，其形式如下：

⎛ k  ⎞   ⎛ 0  0  0  1 ⎞ ⎛ 1  0  0  0 ⎞ ⎛ 1  0  0 -f ⎞ ⎛ x ⎞
⎜ kv ⎟ = ⎜ 0  1  0  0 ⎟ ⎜ 0  1  0  0 ⎟ ⎜ 0  1  0  0 ⎟ ⎜ y ⎟
⎝ ku ⎠   ⎝ 0  0  0  1 ⎠ ⎝ 0  0  0  1 ⎠ ⎝ 0  0  0  1 ⎠ ⎝ 1 ⎠

此时可以发现，透视矩阵变得不可逆。上述线性变换矩阵可以看作是两个变换的组合，一个是将坐标系从透视中心平移到以图像平面为中心的坐标系，另一个是进行透视投影。其变换可以表示为：

⎛ k  ⎞   ⎛ 1  0  0  0 ⎞ ⎛ 1  0  0 -f ⎞ ⎛ 1  0  0  0 ⎞ ⎛ 1  0  0 -f ⎞ ⎛ x ⎞
⎜ kv ⎟ = ⎜ 0  1  0  0 ⎟ ⎜ 0  1  0  0 ⎟ ⎜ 0  1  0  0 ⎟ ⎜ 0  1  0  0 ⎟ ⎜ y ⎟
⎝ ku ⎠   ⎝ 0  0  0  1 ⎠ ⎝ 0  0  0  1 ⎠ ⎝ 0  0  0  1 ⎠ ⎝ 0  0  0  1 ⎠ ⎝ 1 ⎠

同理，若采用前向投影，透视关系的方程形式如下：

⎛ k  ⎞   ⎛ 1  0  0  0 ⎞ ⎛ 1  0  0 -f ⎞ ⎛ 1  0  0  0 ⎞ ⎛ 1  0  0 -f ⎞ ⎛ x ⎞
⎜ kv ⎟ = ⎜ 0  1  0  0 ⎟ ⎜ 0  1  0  0 ⎟ ⎜ 0  1  0  0 ⎟ ⎜ 0  1  0  0 ⎟ ⎜ y ⎟
⎝ ku ⎠   ⎝ 0  0  0  1 ⎠ ⎝ 0  0  0  1 ⎠ ⎝ 0  0  0  1 ⎠ ⎝ 0  0  0  1 ⎠ ⎝ 1 ⎠

之前我们假设相机坐标系和世界坐标系是重合的，但在实际中，当需要相对于用户选择的世界坐标系估计 3D 特征时，如果以相机系统作为每个视角位置的参考，会是一项繁琐的任务。因此，当我们从不同视角位置拍摄 3D 场景的多个图像时，需要将相机坐标系和世界坐标系分离。为了进行透视投影，在这种情况下，首先需要将世界坐标系与相机坐标系对齐，具体过程如下：
1. 平移 ：通过一个表示两者之间有向距离的平移向量，将全局/世界坐标系平移到相机系统的原点。
2. 旋转 ：围绕适当选择的轴进行一系列旋转，使世界坐标系与相机坐标系重合。整个过程可以用以下关系总结：

Âc = Â′ = R(Â – T)

其中，Â 表示全局系统 (X, Y, Z)，Â′ 表示变换后的全局系统，Âc 表示相机系统 (Xc, Yc, Zc)，T 和 R 分别表示平移和旋转向量。

下面是图像形成过程的 mermaid 流程图：

graph TD;
    A[3D世界能量] --> B[成像系统];
    B --> C[转换为2D图像];
    C --> D[空间采样];
    D --> E[量化];
    E --> F[数字图像];
    F --> G{图像形成方面};
    G --> H[辐射方面];
    G --> I[几何方面];
    H --> J[关联辐射亮度与辐照度];
    I --> K[关联3D与2D位置];
    K --> L[透视投影];

3. 全局表示

构建全局地图需要一个共同的参考框架，考虑到相机坐标系会随着位置的变化而不断改变，因此使用用户定义的坐标系（也称为全局系统）更为方便。所有测量都相对于全局系统进行估计，这样可以通过融合多个局部地图的多图像信息，更便捷地构建世界/全局地图。

相机坐标系通常附着在机器人上，可以从不同位置和方向对场景拍摄多个图像。为了实现全局表示，需要建立相机坐标系和全局坐标系之间的关系，具体步骤如下：

3.1 转换到机器人坐标系

首先将基于相机的坐标系转换为机器人坐标系，以将传感器地图转换为虚拟地图。设 (xc, yc, zc) 为车辆坐标系原点相对于相机坐标系的位移向量，在估计时，需要将相机坐标系的原点通过上述平移向量进行平移，使其与机器人坐标系的原点重合，用公式表示为：

⎛ Xc′ ⎞   ⎛ Xc - xc ⎞
⎜ Yc′ ⎟ = ⎜ Yc - yc ⎟
⎝ Zc′ ⎠   ⎝ Zc - zc ⎠

平移后两个系统轴的对齐情况可参考相关示意图。接着，通过围绕适当选择的轴进行一系列旋转，使新坐标系与机器人坐标系对齐，具体旋转步骤如下：
1. 绕 Zc′ 轴旋转 φ1 ：将 Xc′ - Yc′ 平面绕 Zc′ 轴旋转 φ1 角度，其中 φ1 是 Xc′ 与 Xv - Zc′ 平面沿 Xc′ - Yc′ 平面测量的角度。新坐标系表示为：

⎛ Xc′′ ⎞   ⎛ cosφ1 -sinφ1 0 ⎞ ⎛ Xc′ ⎞
⎜ Yc′′ ⎟ = ⎜ sinφ1  cosφ1 0 ⎟ ⎜ Yc′ ⎟
⎝ Zc′′ ⎠   ⎝ 0       0     1 ⎠ ⎝ Zc′ ⎠

2. 绕 Yc′′ 轴旋转 θ1 ：将 Xc′′ - Zc′′ 平面绕 Yc′′ 轴旋转 θ1 角度，其中 θ1 是 Xc′′ 与 Xv 沿 Xc′′ - Zc′′ 平面的角度。新坐标系表示为：

⎛ Xc′′′ ⎞   ⎛ cosθ1  0  sinθ1 ⎞ ⎛ Xc′′ ⎞
⎜ Yc′′′ ⎟ = ⎜ 0       1  0     ⎟ ⎜ Yc′′ ⎟
⎝ Zc′′′ ⎠   ⎝ -sinθ1 0  cosθ1 ⎠ ⎝ Zc′′ ⎠

3. 绕 Xc′′′ 轴旋转 ψ1 ：将 Yc′′′ - Zc′′′ 平面绕 Xc′′′ 轴旋转 ψ1 角度，其中 ψ1 是 Zc′′′ 与 Zv 沿 Yc′′′ - Zc′′′ 平面测量的角度。新坐标系表示为：

⎛ Xciv ⎞   ⎛ 1  0       0     ⎞ ⎛ Xc′′′ ⎞
⎜ Yciv ⎟ = ⎜ 0  cosψ1 -sinψ1 ⎟ ⎜ Yc′′′ ⎟
⎝ Zciv ⎠   ⎝ 0  sinψ1  cosψ1 ⎠ ⎝ Zc′′′ ⎠

通过一次平移和三次后续旋转，相机坐标系就可以转换为机器人坐标系，其关系如下：

⎛ Xv ⎞   ⎛ Xc - xc ⎞ ⎛ cosφ1 -sinφ1 0 ⎞ ⎛ cosθ1  0  sinθ1 ⎞ ⎛ 1  0       0     ⎞ ⎛ Xc ⎞
⎜ Yv ⎟ = ⎜ Yc - yc ⎟ ⎜ sinφ1  cosφ1 0 ⎟ ⎜ 0       1  0     ⎟ ⎜ 0  cosψ1 -sinψ1 ⎟ ⎜ Yc ⎟
⎝ Zv ⎠   ⎝ Zc - zc ⎠ ⎝ 0       0     1 ⎠ ⎝ -sinθ1 0  cosθ1 ⎠ ⎝ 0  sinψ1  cosψ1 ⎠ ⎝ Zc ⎠

以下是相机坐标系转换到机器人坐标系的 mermaid 流程图：

graph TD;
    A[相机坐标系] --> B[平移至机器人坐标系原点];
    B --> C[绕Zc′轴旋转φ1];
    C --> D[绕Yc′′轴旋转θ1];
    D --> E[绕Xc′′′轴旋转ψ1];
    E --> F[机器人坐标系];

通过以上步骤，我们详细介绍了 3D 成像的相关原理、图像形成过程、透视投影以及坐标系转换等内容，这些知识对于理解和实现 3D 成像系统具有重要意义。在后续内容中，我们将进一步探讨如何将机器人坐标系转换为全局坐标系。

4. 转换到全局坐标系

要从机器人坐标系获得全局表示，需要建立基于车辆的坐标系与以物体为中心的坐标系之间的关系，这可以通过以下两个步骤实现：

4.1 平移

首先，将基于机器人的坐标系通过平移向量 (xv, yv, zv) 进行平移，使新系统的原点与全局坐标系重合，用方程表示为：

⎛ Xv′ ⎞   ⎛ Xv - xv ⎞
⎜ Yv′ ⎟ = ⎜ Yv - yv ⎟
⎝ Zv′ ⎠   ⎝ Zv - zv ⎠

平移之后，还需要进行一系列旋转操作，以实现两个坐标系的对齐。

4.2 绕 Zv′ 轴旋转 φ2

将 Xv′ - Yv′ 平面绕 Zv′ 轴旋转 φ2 角度，其中 φ2 是 Yv′ 与 Y0 轴之间的夹角。这里假设两个坐标系的 Z 轴重合（可以假设地面为 X0 - Y0 平面），由此可得到以下关系：

⎛ X0 ⎞   ⎛ Xv - xv ⎞ ⎛ cosφ2 -sinφ2 0 ⎞
⎜ Y0 ⎟ = ⎜ Yv - yv ⎟ ⎜ sinφ2  cosφ2 0 ⎟
⎝ Z0 ⎠   ⎝ Zv - zv ⎠ ⎝ 0       0     1 ⎠

前面已经得到了相机与机器人坐标系之间的关系（公式 13.13）以及机器人与全局坐标系之间的关系（公式 13.15），通过结合这两个方程，就可以得到相机与以物体为中心的坐标系之间的关系。

完成对齐后，进行透视投影，将所有过程总结如下：

⎛ k  ⎞   ⎛ 1  0  0  0 ⎞ ⎛ 1  0  0 -z0 ⎞ ⎛ 1  0  0  0 ⎞ ⎛ 1  0  0  0 ⎞ ⎛ 1  0  0  0 ⎞ ⎛ 1  0  0  0 ⎞ ⎛ 1  0  0 -f ⎞ ⎛ X ⎞
⎜ kv ⎟ = ⎜ 0  1  0  0 ⎟ ⎜ 0  1  0 -y0 ⎟ ⎜ 0  1  0  0 ⎟ ⎜ 0  0  cosA -sinA ⎟ ⎜ 0  cosB  0  sinB ⎟ ⎜ 0  0  0  1 ⎟ ⎜ 0  1  0  0 ⎟ ⎜ Y ⎟
⎝ ku ⎠   ⎝ 0  0  0  1 ⎠ ⎝ 0  0  1 -x0 ⎠ ⎝ 0  0  1  0 ⎠ ⎝ 0  sinA  cosA  0 ⎠ ⎝ 0 -sinB  0  cosB ⎠ ⎝ 0  0  0  1 ⎠ ⎝ 0  0  1  0 ⎠ ⎝ 1 ⎠

其中，(x0, y0, z0) 表示相机坐标系相对于用户定义坐标系的位移向量，A 和 B 分别表示相机的水平和垂直旋转角度（如图 13.12 (b) 和 (c) 所示），C 表示倾斜角度，即图像平面相对于相机坐标系的方向（在本例中为零）。

从上述关系中，我们可以轻松推导出相机的透视矩阵 (T)，表示为：

T = 
⎛ t11 t12 t13 t14 ⎞
⎜ t21 t22 t23 t24 ⎟
⎝ t31 t32 t33 t34 ⎠

其中各元素由一系列变换矩阵相乘得到，具体如下：

T = 
⎛ 1  0  0 -x0 ⎞ ⎛ 1  0  0  0 ⎞ ⎛ 1  0  0  0 ⎞ ⎛ 1  0  0  0 ⎞ ⎛ 1  0  0  0 ⎞ ⎛ 1  0  0 -f ⎞
⎜ 0  1  0 -y0 ⎟ ⎜ 0  1  0  0 ⎟ ⎜ 0  0  cosA -sinA ⎟ ⎜ 0  cosB  0  sinB ⎟ ⎜ 0  0  0  1 ⎟ ⎜ 0  1  0  0 ⎟
⎝ 0  0  1 -z0 ⎠ ⎝ 0  0  1  0 ⎠ ⎝ 0  sinA  cosA  0 ⎠ ⎝ 0 -sinB  0  cosB ⎠ ⎝ 0  0  0  1 ⎠ ⎝ 0  0  1  0 ⎠

下面是从机器人坐标系转换到全局坐标系的 mermaid 流程图：

graph TD;
    A[机器人坐标系] --> B[平移至全局坐标系原点];
    B --> C[绕Zv′轴旋转φ2];
    C --> D[完成坐标系对齐];
    D --> E[进行透视投影];
    E --> F[全局坐标系];

4.3 坐标系转换总结

为了更清晰地展示整个坐标系转换过程，我们将各个步骤总结在以下表格中：
| 转换步骤 | 操作描述 | 公式表示 |
| ---- | ---- | ---- |
| 相机坐标系到机器人坐标系 | 平移和三次旋转 | plaintext ⎛ Xv ⎞ ⎛ Xc - xc ⎞ ⎛ cosφ1 -sinφ1 0 ⎞ ⎛ cosθ1 0 sinθ1 ⎞ ⎛ 1 0 0 ⎞ ⎛ Xc ⎞ ⎜ Yv ⎟ = ⎜ Yc - yc ⎟ ⎜ sinφ1 cosφ1 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 cosψ1 -sinψ1 ⎟ ⎜ Yc ⎟ ⎝ Zv ⎠ ⎝ Zc - zc ⎠ ⎝ 0 0 1 ⎠ ⎝ -sinθ1 0 cosθ1 ⎠ ⎝ 0 sinψ1 cosψ1 ⎠ ⎝ Zc ⎠ |
| 机器人坐标系到全局坐标系 | 先平移，再绕 Zv′ 轴旋转 | plaintext ⎛ X0 ⎞ ⎛ Xv - xv ⎞ ⎛ cosφ2 -sinφ2 0 ⎞ ⎜ Y0 ⎟ = ⎜ Yv - yv ⎟ ⎜ sinφ2 cosφ2 0 ⎟ ⎝ Z0 ⎠ ⎝ Zv - zv ⎠ ⎝ 0 0 1 ⎠ |
| 最终透视投影 | 综合所有变换 | plaintext ⎛ k ⎞ ⎛ 1 0 0 0 ⎞ ⎛ 1 0 0 -z0 ⎞ ⎛ 1 0 0 0 ⎞ ⎛ 1 0 0 0 ⎞ ⎛ 1 0 0 0 ⎞ ⎛ 1 0 0 0 ⎞ ⎛ 1 0 0 -f ⎞ ⎛ X ⎞ ⎜ kv ⎟ = ⎜ 0 1 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 -y0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 cosA -sinA ⎟ ⎜ 0 cosB 0 sinB ⎟ ⎜ 0 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 ⎟ ⎜ Y ⎟ ⎝ ku ⎠ ⎝ 0 0 0 1 ⎠ ⎝ 0 0 1 -x0 ⎠ ⎝ 0 0 1 0 ⎠ ⎝ 0 sinA cosA 0 ⎠ ⎝ 0 -sinB 0 cosB ⎠ ⎝ 0 0 0 1 ⎠ ⎝ 0 0 1 0 ⎠ ⎝ 1 ⎠ |

5. 总结

通过以上详细的介绍，我们全面了解了 3D 成像的相关知识，包括 3D 成像的分类、图像形成的过程（辐射和几何方面）、不同维度的透视投影原理以及多个坐标系之间的转换方法。

在 3D 成像中，图像形成涉及到复杂的能量转换和坐标映射过程。透视投影是将 3D 世界映射到 2D 图像平面的重要方法，但它具有多对一的变换特性，这给 3D 点的重建带来了挑战，需要借助齐次坐标系和线性变换来解决。

在坐标系转换方面，从相机坐标系到机器人坐标系，再到全局坐标系，每一步都需要进行平移和旋转操作，以实现坐标系的对齐和转换。这些操作对于构建全局地图和实现 3D 场景的准确表示至关重要。

掌握这些知识和方法，对于开发和优化 3D 成像系统、机器人视觉系统以及相关的计算机视觉应用具有重要的指导意义。未来，随着技术的不断发展，3D 成像和坐标系转换的方法可能会更加高效和精确，为更多领域的应用提供支持。

下面是整个 3D 成像及坐标系转换过程的总结 mermaid 流程图：

graph TD;
    A[3D成像] --> B[图像形成];
    B --> C[辐射方面];
    B --> D[几何方面];
    D --> E[透视投影];
    E --> F[1D透视投影];
    E --> G[3D透视投影];
    A --> H[坐标系转换];
    H --> I[相机坐标系到机器人坐标系];
    H --> J[机器人坐标系到全局坐标系];
    I --> K[平移];
    I --> L[三次旋转];
    J --> M[平移];
    J --> N[绕Zv′轴旋转];
    I --> O[构建局部地图];
    J --> P[构建全局地图];

总之，3D 成像几何与坐标系统转换是一个复杂而又关键的领域，深入理解和掌握这些知识，将有助于我们在相关领域取得更好的成果。