磁场与电场及相对性

最新推荐文章于 2022-09-16 22:33:07 发布

无知才狂

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分类专栏：物理电磁场与电磁波数学

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/cython22/article/details/78930906

麦克斯韦方程组揭示了电场和磁场的本质，两者在相对论中展现出深刻的联系。静止时电场和磁场独立，但运动时速度成为连接它们的桥梁。通过洛伦兹力和相对性原理，解释了运动电荷在磁场中的行为，并通过实例讨论了不同参考系下电磁场的等效性。

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麦克斯韦方程组完全刻画了电场和磁场的形态。

在静止情况下，Maxwell方程是两组分立的方程，分别描述了电场矢量和磁场矢量；一个矢量场完全由其散度和旋度唯一的确定，描述电场和磁场的两组方程正好是其散度和旋度。

静止坐标系下磁场方程：

\nabla D = ρ

$\nabla \boldsymbol{D}=\rho$

\nabla \times E = 0

$\nabla\times\boldsymbol{E}=\boldsymbol{0}$
静止坐标系下磁场方程：

\nabla B = 0

$\nabla\boldsymbol{B}=0$

\nabla \times H = J

$\nabla\times\boldsymbol{H}=\boldsymbol{J}$
可见，电场和磁场完全是分离的两种物质。

对于一个带电体，众所周知，会受到另一个带电体的作用力，我们也知道这个作用力是带电体在空间中产生的电场在另一个带电体上的表现形式。库仑力为

F = q E

$\boldsymbol{F}=q\boldsymbol{E}$

对于一个静止的带电体，放在一块磁铁旁边不会发生任何运动的趋势（假设带电体未被磁化），即不受力。但是，如果这个带电体是运动的，则会受力，即洛伦兹力

F = q v \times B

$\boldsymbol{F}=q\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B}$
直观上，会看到一个神秘的对应关系，对于任何一个带电体，

E $\boldsymbol{E}$ 和

v×B $\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B}$ 所起的作用貌似一样，冥冥之中是不是暗示着电场和磁场之间有一定的关联呢？

就是这样，电场和磁场之间还真是有联系。起着纽带作用的便是那个不起眼的速度 $\boldsymbol{v}$ ，这个 $\boldsymbol{v}$ 正是自然界内部所蕴藏的一个深刻理论—-相对性原理—-在机智的物理学家面前不小心漏出的尾巴。

从历史上看，相对性原理出现在Maxwell方程之后，但是，正是爱因斯坦对电和磁的研究才最终导致了相对性原理的发现，其实Maxwell和前辈们比如法拉第、安培等已经将相对性原理的尾巴揪了出来，而最终让其真相面世的是目光敏锐的老爱同学。

完整的Maxwell方程为

\nabla D = ρ

$\nabla \boldsymbol{D}=\rho$

\nabla \times E = - \partial B \partial t

$\nabla\times\boldsymbol{E}=-\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t}$

\nabla B = 0

$\nabla\boldsymbol{B}=0$

\nabla \times H = J + \partial D \partial t

$\nabla\times\boldsymbol{H}=\boldsymbol{J}+\frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t}$

大道至简，大美无形。Maxwell方程以极其简洁优美的姿态展示了自然界关于电磁现象的一切本质。

可见，电磁是一家。静电和静磁只是特例而已。

关于电磁场在相对性原理中的一个有趣例子（Feynman物理学讲义13-6）：

题目：假定一个负电荷以速度 $v_0$ 平行于一根载流导线而运动，基于以下两种参考系，会发生什么有趣情况。（a）坐标系固定在导线上，即 $S$ 系；（b）坐标系固定在粒子上，即 $S'$ 系；
这里写图片描述

解：
建立一个圆柱坐标系，以向右为正。

对于情况a，这是大众情况，导线不动，电荷运动。很显然（sorry，高考遗留下的毛病，数学老师教的），电荷受到一个磁力，那方向如何大小如何？用洛伦兹力就可以搞定了。

（tips：解决高维物理问题最好用矢量运算，会有意想不到的好处）

速度矢量 $\boldsymbol{v_0}=v_0\hat{\boldsymbol{z}}$ ，磁场矢量 $\boldsymbol{B}(r)=-B\hat{\boldsymbol{\theta}}$ ，这里把磁场写成 $\boldsymbol{B}(r)$ 是因为无限长直导线的磁场是旋转对称的，负号是因为电流沿着 $-z$ 方向。