59、公钥加密高级主题解读

公钥加密高级主题解读

1. 同态加密概述

同态加密是一种强大的加密技术，允许在加密数据上进行特定的计算，最终得到包含加密结果的密文。以Paillier加密方案为例，它在许多场景中都非常有用，其主要的计算操作是（模）加法。

1.1 Paillier加密方案的同态性

对于公钥 pk = N ，Paillier方案具有这样的特性：加密 m1 的结果与加密 m2 的结果相乘（模 N² 运算），得到的是 [m1 + m2 mod N] 的加密结果。具体公式如下：
[((1 + N)^{m_1} \cdot r_1^N) \cdot ((1 + N)^{m_2} \cdot r_2^N) = (1 + N)^{[m_1 + m_2 \mod N]} \cdot (r_1r_2)^N \mod N^2]

虽然对加密值进行加法运算看似用处不大，但它在一些有趣的应用中却能发挥重要作用，比如下面要介绍的投票系统。

1.2 同态加密的定义

一个公钥加密方案 (Gen, Enc, Dec) 若满足以下条件，则被认为是同态的：
- 对于所有的 n 和 Gen(1ⁿ) 输出的所有 (pk, sk) ，可以定义群 M 和 C （仅依赖于 pk ）。消息空间为