[HDU]6069 Counting Divisors

最新推荐文章于 2018-11-16 00:02:16 发布

ctsas

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分类专栏：数学

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本文提供了一道编号为6069的HDU在线评测题目解决方案，该题要求计算特定数学表达式的模运算结果。通过枚举质数并分解区间内的整数来解决，算法的时间复杂度为O(sqrt(r)+(r-l+1)loglog(r-l+1))。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

URL : http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6069

求:

(\sum i = l r d (i k)) mod 998244353

$\begin{eqnarray*} \left(\sum_{i=l}^r d(i^k)\right)\bmod 998244353 \end{eqnarray*}$

l,r,k(1≤l≤r≤1012,r−l≤106,1≤k≤107) $l,r,k(1\leq l\leq r\leq 10^{12},r-l\leq 10^6,1\leq k\leq 10^7)$

题解：

设 $n=p_1^{c_1}p_2^{c_2}...p_m^{c_m}n=p$ ，则 $d(n^k)=(kc_1+1)(kc_2+1)...(kc_m+1)$ 枚举不超过 $\sqrt{r}$ 的所有质数 $p$ ，再枚举区间 $[l,r]$ 中所有 $p$ 的倍数，将其分解质因数，最后剩下的部分就是超过 $\sqrt{r}$ 的质数，只可能是 $0$ 个或 $1$ 个。
时间复杂度 $O(\sqrt{r}+(r-l+1)\log\log(r-l+1))$

#include<stdio.h>
#define it (pos - l)

typedef long long LL;
const int MOD = 998244353;
const int MAXN = 1e6 + 500;
const int o = 1000000;
int p[MAXN], prm[MAXN], sz;
LL arr[o + 10], d[o + 10];

void init() {
    for(int i = 2; i < MAXN; ++i) {
        if(!p[i])  prm[sz++] = i;
        for(int j = 0; j < sz; ++j) {
            int t = i * prm[j];
            if(t >= MAXN) break;
            p[t] = true;
            if(i%prm[j] == 0) break;
        }
    }
}

LL work(LL l, LL r, LL k) {
    for(int i = 0; i < sz; ++i) {
        LL pos = (l + prm[i] - 1) / prm[i] * prm[i];
        while(pos <= r) {
            LL cnt = 0;
            while(arr[it] % prm[i] == 0) {
                ++cnt;
                arr[it] /= prm[i];
            }
            d[it] *= cnt * k + 1;
            d[it] %= MOD;
            pos += prm[i];
        }
    }
    LL res = 0;
    for(LL pos = l; pos <= r; ++pos) {
    //  printf("#%lld\n", d[it]);
        if(arr[it] == 1) {
            res += d[it];
        } else {
            res += d[it] * (k +1);
        }
        res %= MOD;
    }
    return res;
}

int main()
{
    init();
    int T;
    LL l, r, k;
    scanf("%d", &T);
    while(T--) {
        scanf("%lld%lld%lld", &l, &r, &k);
        for(LL pos = l; pos <= r; ++pos) {
            d[it] = 1;
            arr[it] = pos;
        }
        LL ans = work(l, r, k);
        printf("%lld\n", ans);
    }
    return 0;
}