主席树学习笔记

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主席树是一种数据结构，其主要应用是区间第 $k$ 大问题。

权值线段树

传统的线段树用于维护一条线段上的区间，可以方便地查询区间信息。而如果将线段树转化为『权值线段树』，每个叶子节点存储某个元素出现次数，一条线段的总和表示区间内所有数出现次数的总和。

利用权值线段树可以方便地求出整体第 $k$ 大 —— 从根节点向下走，如果 $k$ 小于等于左子树大小，说明第 $k$ 大在左子树的区间中，在左子树中继续查找即可；否则，说明第 $k$ 大在右子树的区间中，此时将 $k$ 减去左子树大小，并在右子树中继续查找。

查找过程类似平衡树，时间复杂度为 $O(\log n)$。

前缀和

上述算法可以用来处理整个序列上的第 $k$ 大，而我们可以对于一个长度为 $k$ 的序列 $a$ 建立 $n$ 棵上述的权值线段树，第 $i$ 棵表示『 $a_1$ ~ $a_i$ 的所有数』组成的权值线段树。如果要查询 $[l, r]$ 中的第 $k$ 大，可以使用第 $r$ 棵线段树减去第 $l - 1$ 棵线段树，得到整个区间组成的权值线段树，并进行上述算法得到区间中的第 $k$ 大。

这个算法存在两个问题：

每个线段树要占用 $O(n \log n)$ 的空间，算法的空间复杂度为 $O(n ^ 2 \log n)$
​​ logn)，占用空间过多；
建立每棵线段树至少要用 $O(n \log n)$ 的时间，每次查询又要用 $O(n \log n)$ 的时间构建区间的权值线段树，总时间复杂度 $O((n + m) n \log n)$。
看上去还不如每次直接提取出区间，并使用后线性选择得到答案的 $O(n ^ 2)$
​​ ) 的朴素算法优秀。

主席树

仔细思考，发现上述算法的 $n$ 棵线段树中，相邻的两棵线段树仅有 $O(\log n)$ 个节点不同，因此本质不同的节点只有 $O(n \log n)$ 个。我们可以充分利用这一特点，每次只重新创建与上次所不同的节点，相同的节点直接使用前一棵的即可。

为了节省空间，可以将第 $0$ 棵线段树置为空，每次插入一个新叶子节点时接入一条长度为 $O(\log n)$ 的链。总空间、时间复杂度仍为 $O(n \log n)$

查询时构造整棵线段树，需要构造 $O(n \log n)$ 个节点，但每次查询只会用到 $O(\log n)$ 个节点，直接动态构造这些节点即可。为了方便，可以不显式构造这些节点，而是直接用两棵线段树上的值相减。

模板

题目 K-th Number

#include<cstdio>
#include<vector>
#include<algorithm>
#define MAXN 100005
using namespace std;
int n,m,cnt,root[MAXN],a[MAXN],x,y,k;
struct node{int l,r,sum;}T[MAXN*40];
vector<int> v;
int getid(int x){return lower_bound(v.begin(),v.end(),x)-v.begin()+1;}
void update(int l,int r,int &x,int y,int pos)
{
    T[++cnt]=T[y],T[cnt].sum++,x=cnt;
    if(l==r) return ;
    int mid=l+r>>1;
    if(mid>=pos) update(l,mid,T[x].l,T[y].l,pos);
    else update(mid+1,r,T[x].r,T[y].r,pos);
}
int query(int l,int r,int x,int y,int k)
{
    if(l==r) return l;
    int mid=l+r>>1;
    int sum=T[T[y].l].sum-T[T[x].l].sum;
    if(sum>=k) return query(l,mid,T[x].l,T[y].l,k);
    else return query(mid+1,r,T[x].r,T[y].r,k-sum);
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]),v.push_back(a[i]);
    sort(v.begin(),v.end());
    v.erase(unique(v.begin(),v.end()),v.end());
    for(int i=1;i<=n;i++) update(1,n,root[i],root[i-1],getid(a[i]));
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&k);
        printf("%d\n",v[query(1,n,root[x-1],root[y],k)-1]);
    }
    return 0;
}

参考资料

• UESTCACM 每周算法讲堂 主席树
• http://chrysanthemum.is-programmer.com/posts/189902.html
• http://blog.leanote.com/post/yljiang/persistent-segment-tree
• https://oi.men.ci/chairman-tree-notes/