ACM 进阶学习第一课----简单数学问题之同余相关

最大公约数算法分析

欧几里德算法

伪代码

while b>0
    do r←a%b
         a←b
         b←r
return a

算法分析：

欧几里德算法是计算最大公约数的传统算法,也是最简单的算法,效率很高
时间复杂度:O(lgn)(最坏情况:斐波那契数列相邻的两项)
空间复杂度:O(1)
但是,对于大整数来说,取模运算非常耗时

Stein算法

伪代码：

Stein算法(假设0<=b<a):
r←0
while b>0
   do if a偶,b偶 then a←a>>1   b←b>>1   r←r+1
        else if a偶,b奇 then a←a>>1
        else if a奇,b偶 then b←b>>1
        else if a奇,b奇 then a←(a-b)>>1
        if a<b then 交换a,b
return a<<r

算法分析

渐近时间,空间复杂度均与欧几里德算法相同
原理:gcd(ka,kb)=k*gcd(a,b)
最大特点:只有移位和加减法计算,避免了大整数的取模运算

代码：

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 print ?

1. unsigned MaxDivisor(unsigned a, unsigned b)   
2. {   
3.     unsigned c = 0;   
4.     while(1)  
5.     {   
6.     // 退出条件   
7.         if(a==0)   
8.             return b << c;  
9.         else if(b == 0)   
10.             return a << c;  
11.     // 为提高速度，采用位的与运算，避免用取模判断奇偶   
12.         if(!(a & 1) && !(b & 1)) //a,b 都是偶数   
13.         {   
14.             a >>= 1; b >>= 1; ++c;   
15.         }   
16.         else if(!(a & 1) && (b & 1)) //a偶 b奇   
17.         {   
18.             a >>= 1;   
19.         }   
20.         else if((a & 1) && !(b & 1)) //a奇 b偶   
21.         {  
22.              b >>= 1;   
23.         }   
24.         else if((a & 1) && (b & 1)) //a,b都是奇数   
25.         {   
26.             unsigned tmp = a>b?b:a; //取较小的一个   
27.             a = a>b?a-b:(b-a); //绝对差值  
28.             b = tmp;   
29.         }   
30.     }  
31. }   

扩展欧几里德算法

基本算法

对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然存在整数对 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。

【证明】

设 a>b

1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0；
2，ab!=0 时
设 :ax1+by1=gcd(a,b);
显然也有：bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);
根据朴素的欧几里德 原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);
则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;

即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;

根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;

这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2.

上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以结束。

扩展欧几里得递归代码：

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 print ?

1. int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)  
2. {  
3.     if(b==0)  
4.     {  
5.         x=1;  
6.         y=0;  
7.         return a;  
8.     }  
9.     int r=exgcd(b,a%b,x,y);  
10.     int t=x;  
11.     x=y;  
12.     y=t-a/b*y;  
13.     return r;  
14. }  

非递归代码：

[cpp]  view plain  copy

 print ?

1. int exgcd(int m,int n,int &x,int &y)  
2. {  
3.     int x1,y1,x0,y0;  
4.     x0=1; y0=0;  
5.     x1=0; y1=1;  
6.     x=0; y=1;  
7.     int r=m%n;  
8.     int q=(m-r)/n;  
9.     while(r)  
10.     {  
11.         x=x0-q*x1; y=y0-q*y1;  
12.         x0=x1; y0=y1;  
13.         x1=x; y1=y;  
14.         m=n; n=r; r=m%n;  
15.         q=(m-r)/n;  
16.     }  
17.     return n;  
18. }  

应用

扩展欧几里德算法的应用主要有以下三方面：

（1）求解不定方程；

（2）求解模线性方程（线性同余方程）；

（3）求解模的逆元；

（1）使用扩展欧几里德算法解决不定方程的办法：

  对于不定整数方程pa+qb=c，若 c mod Gcd(p, q)=0,则该方程存在整数解，否则不存在整数解。
  上面已经列出找一个整数解的方法，在找到p * a+q * b = Gcd(p, q)的一组解p0,q0后，p * a+q * b = Gcd(p, q)的其他整数解满足：
  p = p0 + b/Gcd(p, q) * t 
  q = q0 - a/Gcd(p, q) * t(其中t为任意整数)
  至于pa+qb=c的整数解，只需将p * a+q * b = Gcd(p, q)的每个解乘上 c/Gcd(p, q) 即可。

  在找到p * a+q * b = Gcd(a, b)的一组解p0,q0后，应该是得到p * a+q * b = c的一组解p1 = p0*(c/Gcd(a,b)),q1 = q0*(c/Gcd(a,b))，

  p * a+q * b = c的其他整数解满足：

   p = p1 + b/Gcd(a, b) * t

  q = q1 - a/Gcd(a, b) * t(其中t为任意整数)

  p 、q就是p * a+q * b = c的所有整数解。

相关证明可参考： http://www.cnblogs.com/void/archive/2011/04/18/2020357.html

 

用扩展欧几里得算法解不定方程ax+by=c;

代码如下：

[cpp]  view plain  copy

 print ?

1. bool linear_equation(int a,int b,int c,int &x,int &y)  
2. {  
3.     int d=exgcd(a,b,x,y);  
4.     if(c%d)  
5.         return false;  
6.     int k=c/d;  
7.     x*=k; y*=k;    //求得的只是其中一组解  
8.     return true;  
9. }  

(2)用扩展欧几里德算法求解模线性方程的方法：

    同余方程 ax≡b (mod n)对于未知数 x 有解，当且仅当 gcd(a,n) | b。且方程有解时，方程有 gcd(a,n) 个解。

    求解方程 ax≡b (mod n) 相当于求解方程 ax+ ny= b, (x, y为整数)

    设 d= gcd(a,n)，假如整数 x 和 y，满足 d= ax+ ny(用扩展欧几里德得出)。如果 d| b，则方程

    a* x0+ n* y0= d， 方程两边乘以 b/ d，(因为 d|b，所以能够整除)，得到 a* x0* b/ d+ n* y0* b/ d= b。
    所以 x= x0* b/ d，y= y0* b/ d 为 ax+ ny= b 的一个解，所以 x= x0* b/ d 为 ax= b (mod n ) 的解。

    ax≡b (mod n)的一个解为 x0= x* (b/ d ) mod n，且方程的 d 个解分别为 xi= (x0+ i* (n/ d ))mod n {i= 0... d-1}。

    设ans=x*(b/d),s=n/d;

    方程ax≡b (mod n)的最小整数解为：(ans%s+s)%s;

    相关证明：

    证明方程有一解是: x0 = x'(b/d) mod n;
    由 a*x0 = a*x'(b/d) (mod n)
         a*x0 = d (b/d) (mod n)   (由于 ax' = d (mod n))
                 = b (mod n)

    证明方程有d个解: xi = x0 + i*(n/d)  (mod n);
    由 a*xi (mod n) = a * (x0 + i*(n/d)) (mod n)
                             = (a*x0+a*i*(n/d)) (mod n)
                             = a * x0 (mod n)             (由于 d | a)
                             = b

     

首先看一个简单的例子：

=4(mod3)

解得x = 2,5,8,11,14.......

由此可以发现一个规律，就是解的间隔是3.

那么这个解的间隔是怎么决定的呢？

如果可以设法找到第一个解，并且求出解之间的间隔，那么就可以求出模的线性方程的解集了.

我们设解之间的间隔为dx.

那么有

a*x = b(mod n);

a*(x+dx) = b(mod n);

两式相减，得到:

a*dx(mod n)= 0;

也就是说a*dx就是a的倍数，同时也是n的倍数，即a*dx是a 和 n的公倍数.为了求出dx,我们应该求出a 和 n的最小公倍数,此时对应的dx是最小的.

设a 和 n的最大公约数为d,那么a 和 n 的最小公倍数为(a*n)/d.

即a*dx = a*n/d;

所以dx = n/d.

因此解之间的间隔就求出来了.

    代码如下：

[cpp]  view plain  copy

 print ?

1. bool modular_linear_equation(int a,int b,int n)  
2. {  
3.     int x,y,x0,i;  
4.     int d=exgcd(a,n,x,y);  
5.     if(b%d)  
6.         return false;  
7.     x0=x*(b/d)%n;   //特解  
8.     for(i=1;i<d;i++)  
9.         printf("%d\n",(x0+i*(n/d))%n);  
10.     return true;  
11. }  

（3）用欧几里德算法求模的逆元：

       同余方程ax≡b (mod n)，如果 gcd(a,n)== 1，则方程只有唯一解。

      在这种情况下，如果 b== 1，同余方程就是 ax=1 (mod n ),gcd(a,n)= 1。

      这时称求出的 x 为 a 的对模 n 乘法的逆元。

      对于同余方程 ax= 1(mod n )， gcd(a,n)= 1 的求解就是求解方程

      ax+ ny= 1，x, y 为整数。这个可用扩展欧几里德算法求出，原同余方程的唯一解就是用扩展欧几里德算法得出的 x 。