25、基于压缩感知的医疗物联网应用解析

基于压缩感知的医疗物联网应用解析

1. 压缩感知理论基础

在压缩感知（CS）中，为了从压缩测量值 $y$ 中恢复出信号 $s$，对于任意与 $s$ 具有相同非零元素的 $k$ 稀疏向量 $u$，需满足以下不等式：
[1 - \delta \leq \frac{|\theta u|_2}{|u|_2} \leq 1 + \delta]
其中，$\delta$ 是满足受限等距性质（RIP）的正常数。该不等式确保矩阵 $\theta$ 能保持任意两个 $k$ 稀疏向量之间的距离。为获得稳健的解，矩阵 $\theta$ 必须满足此不等式，但计算 $\delta$ 可能具有挑战性。此外，相干性也是保证稳定解的另一个条件。

RIP 本质上确保矩阵 $A$ 能以最小误差保持任意 $k$ 稀疏向量的内积和范数。满足 RIP 条件后，利用凸优化技术，就可以高概率地从压缩测量值 $Ax$ 中恢复出任意 $k$ 稀疏向量 $x$。RIP 是压缩感知中的重要性质，它保证了在特定条件下稀疏恢复算法的成功。许多自然类别的矩阵，如随机高斯矩阵和某些结构化矩阵，已被证明具有很高的概率满足 RIP。

为确保准确重建，测量矩阵 $A$ 和稀疏基 $\psi$ 必须相互不相干。相干性值 $\mu (A, \psi)$ 的计算方法是考虑所选矩阵对中任意两个元素之间的最高相关性，其范围为 $\mu (A, \psi) \in [1, \sqrt{n}]$。CS 重建所需的测量次数取决于相干性值，相干性值越低，所需的测量次数就越少。具体计算相干性值的公式为：
[\mu (A, \psi) = \sqrt{n} \max_{1\leq i,j\leq n} |\langle A_i, \psi_