n维单位正交向量和他的转秩α*α^T性质

矩阵秩与特征值解析
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本文探讨了矩阵α*α^T的秩为1的原理，以及当引入另一个与α正交的单位向量β时，k*α*α^T+t*β*β^T的秩与特征值特性。通过具体例题深入解析了矩阵运算中秩与特征值的变化规律。

1、α*α^T的秩为1；

R(AB)<=min{R(A),R(B)}，非零列向量秩等于1，所以R(AAT)<=1，A和AT相乘肯定有不为零的元素，因为主对角线上是列向量各个元素的平方，它们相乘不是零矩阵，所以R(AAT)>=1，推出R(AAT)=1；

2、如果另有一个单位正交向量β和α正交，那么k*α*α^T+t*β*β^T的秩小于等于2，且他的两个特征值为k和t；

具体例题和证明过程参见13年数学一矩阵大题第二题第二问

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