动态规划解背包问题（01背包）

一、概念

问题可以描述为：给定一组物品(有N 个物品和容量为W 的背包，每个物品都有自己的体积w 和价值v)，在限定的总重量内，我们如何选择，才能使得物品的总价格最高。

常见的有01背包问题，即限定每种问题只能取0个或1个。

问：要使背包装的物品价值最大，应该怎么选，最大值是多少？

二、动态规划解法

 动态规划数组dp[i][j]含义：前i件物品，放入容量为j的背包里的最大价值。

递推公式：dp[i][j] = max(不放物品i所能达到的最大价值，放物品i所能达到的最大价值)

其中，

不放物品i所能达到的最大价值：dp[i-1][j]

放物品i所能达到的最大价值：dp[i-1][j - weight[i]] + value[i]，需判断 j > weight[i]

dp[i][j]	j = 0	1	2	3	4
i = 0	0	0	0	0	0
i = 1	0	15	15	15	15
i = 2	0	15(不放第i件)	0+20=20	15+20=35	15+20=35
i = 3	0	15(不放第i件)	20 (不放第i件)	35 (不放第i件)	35 (不放第i件)

背包问题不需要排序，即使改变物品顺序，也不影响。

代码如下：N表示物品数量，W表示背包容量

 三、空间优化