【JZOJ5215】【GDOI2018模拟7.9】组合数问题

最新推荐文章于 2020-03-19 10:12:52 发布

原创最新推荐文章于 2020-03-19 10:12:52 发布 · 361 阅读

1 ·

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

#JZOJ5215 #GDOI2018模拟 #组合数问题 #矩阵乘法

GDOI 同时被 3 个专栏收录

107 篇文章

订阅专栏

67 篇文章

订阅专栏

矩阵

11 篇文章

订阅专栏

本文介绍了一种使用矩阵快速幂解决特定组合数学问题的方法。该问题是在n*k个球中选择x个球，使得x模k等于r的情况下的方案数量。通过定义状态转移方程并利用矩阵快速幂进行优化，实现了高效计算。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

这里写图片描述

Data Constraint

这里写图片描述

Solution

其实式子很显然，但就是没看出来。最恐怖的是还没看到r< k
我们可以将式子看成在n*k个球中挑选x个球的方案数，满足x%k=r。那么显然是设f[i][j]表示前i个球中取的球modk=j的方案数。f[i][j]=f[i-1][j]+f[i-1][j-1]，矩阵乘法一下即可。

Code

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=55;
ll n,p,k,r,i,t,j,l,x,y,z,d[maxn];
struct code{
    ll a[maxn][maxn];
    code friend operator * (code x,code y){
        code z;memset(z.a,0,sizeof(z.a));int i,j,k;
        for (i=0;i<=50;i++)
            for (j=0;j<=50;j++)
                for (k=0;k<=50;k++)
                    z.a[i][j]=(z.a[i][j]+x.a[i][k]*y.a[k][j]%p)%p;
        return z;
    }
}c,a,b;
void dg(){
    while (n>1) d[++d[0]]=n%2,n/=2;
    a=c;
    for (;d[0];d[0]--){
        a=a*a;
        if (d[d[0]]) a=a*c;
    } 
}
ll mi(ll x){
    if (x==1) return 2;
    ll t=mi(x/2);
    if (x%2) return t*t%p*2%p;return t*t%p;
}
int main(){
//  freopen("data.in","r",stdin);
    scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&p,&k,&r);
    c.a[0][0]=c.a[k-1][0]=1;
    for (i=1;i<k;i++)
        c.a[i][i]=c.a[i-1][i]=1;
    n*=k;
    if (k>1){
        dg();
        b.a[0][0]=1;
        b=b*a;
        t=b.a[0][r];
    }else t=mi(n*k);
    printf("%lld\n",t);
}