[Gym102135][G - Digital characteristic]2017-2018 8th BSUIR Open Programming Contest

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#Gym102135 #类欧几里得 #数论

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本文探讨了给定参数a,b,m,k下，构造特定数列并求解其模9函数值的问题。通过类欧几里得算法推导，详细解释了如何高效计算数列的模9函数值，涉及数论、模运算及序列处理。

description

给定a,b,m,k，产生长度为k的数组，a1=a%m,ai=(ai-1+b)%m(i>1)，将这k个数首尾相接形成一个新数，问这个数的f函数的值

‘’‘solution’’’

首先f(x)可以等价于询问x%9的值，由于10的幂模9都为1，x%9= $(∑(a+bi)%m)(\sum{(a+bi)\%m})%9$

$=(∑a+bi−⌊a+bim⌋∗m)=(\sum{a+bi-\lfloor{\dfrac{a+bi}{m}}\rfloor*m})%9$
$=∑a+bi%9−(m∗∑⌊a+bim⌋)%9=\sum{a+bi}\%9-(m*\sum{\lfloor{\dfrac{a+bi}{m}}\rfloor})\%9$
$=∑a+bi%9−(m∗f(b,a,m,k−1))%9=\sum{a+bi}\%9-(m*f(b,a,m,k-1))\%9$

$类欧几里得推导：f(a,b,c,n)=∑0n⌊ai+bc⌋类欧几里得推导：f(a,b,c,n)=\sum^{n}_{0}{\lfloor{\dfrac{ai+b}{c}}\rfloor}$
$当 a = 0 时：$
$f(a,b,c,n)=⌊b/c⌋∗(n+1)f(a,b,c,n)=\lfloor{b/c}\rfloor*(n+1)$
$当 a > = c 或 b > = c 时：$
$f(a,b,c,n)=∑0n⌊a/c⌋∗i+⌊b/c⌋+⌊a%c∗i+b%cc⌋f(a,b,c,n)=\sum_{0}^{n}{\lfloor{a/c}\rfloor*i+\lfloor{b/c}\rfloor+\lfloor{\dfrac{a\%c*i+b\%c}{c}}\rfloor}$
$=⌊a/c⌋n∗(n+1)/2+⌊b/c⌋∗(n+1)+f(a%c,b%c,c,n)=\lfloor{a/c}\rfloor n*(n+1)/2+\lfloor{b/c}\rfloor*(n+1)+f(a\%c,b\%c,c,n)$
$当 a < c 且 b < c 时$
$f(a,b,c,n)=∑i=0n∑j=0⌊ai+bc⌋−11f(a,b,c,n)=\sum_{i=0}^{n}{\sum_{j=0}^{\lfloor{\dfrac{ai+b}{c}}\rfloor-1}1}$
$=∑j=0⌊an+bc⌋−1∑i=0n1(j<⌊ai+bc⌋)=\sum_{j=0}^{\lfloor{\dfrac{an+b}{c}}\rfloor-1}{\sum_{i=0}^{n}1(j<\lfloor{\dfrac{ai+b}{c}}\rfloor)}$
$=∑j=0⌊an+bc⌋−1∑i=0n1(j<⌈ai+b−c+1c⌉)=\sum_{j=0}^{\lfloor{\dfrac{an+b}{c}}\rfloor-1}{\sum_{i=0}^{n}1(j<\lceil{\dfrac{ai+b-c+1}{c}}\rceil)}$
$=∑j=0⌊an+bc⌋−1∑i=0n1(i>⌊cj−b+c−1a⌋)=\sum_{j=0}^{\lfloor{\dfrac{an+b}{c}}\rfloor-1}{\sum_{i=0}^{n}1(i>\lfloor{\dfrac{cj-b+c-1}{a}}\rfloor)}$
$=∑j=0⌊an+bc⌋−1n−⌊cj−b+c−1a⌋=\sum_{j=0}^{\lfloor{\dfrac{an+b}{c}}\rfloor-1}{n-\lfloor{\dfrac{cj-b+c-1}{a}}\rfloor}$
$=n∗⌊an+bc⌋−f(c,−b+c−1,⌊an+bc⌋−1)=n*\lfloor{\dfrac{an+b}{c}}\rfloor-f(c,-b+c-1,\lfloor{\dfrac{an+b}{c}}\rfloor-1)$
同理可以求出 $g(a,b,c,n)=∑i∗⌊ai+bc⌋g(a,b,c,n)=\sum{i*\lfloor{\dfrac{ai+b}{c}}\rfloor}$
$h(a,b,c,n)=∑⌊ai+bc⌋2h(a,b,c,n)=\sum{\lfloor{\dfrac{ai+b}{c}}\rfloor^2}$ （平方这里需要有一个转换) $n2=2∗∑i=0ni−nn^2=2*\sum_{i=0}^{n}i-n$

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define fo(i,a,b) for(LL i=a;i<=b;i++)
#define rp(i,a,b) for(LL i=a;i>=b;i--)
#define tr(t,x) for(LL t=first[x];t;t=nex[t])
using namespace std;
const LL mo=9;
LL n,m,i,t,j,k,l,x,y,z,a,b,ans,T;
LL sqr(LL n){
	return n*(n+1)/2%mo;
}
LL f(LL a,LL b,LL c,LL n){
	if (!a) return (b/c)*(n+1)%mo;
	if (a>=c || b>=c) return (f(a%c,b%c,c,n)+sqr(n)*(a/c)+(n+1)*(b/c))%mo; 
	LL t=(a*n+b)/c;
	return (t%mo*n%mo-f(c,c-b-1,a,t-1)+mo)%mo;
}
int main(){
	//freopen("data.in","r",stdin);
	scanf("%lld",&T);
	while (T--){
		scanf("%lld%lld%lld%lld",&a,&b,&m,&n);n--;
		a%=m;b%=m;
		if ((!n || ( n && !b)) && !a){
			printf("0\n"); continue;
		}
		ans=a*(n+1)%mo+sqr(n)*b%mo-m*f(b,a,m,n)%mo;
		ans=(ans+mo)%mo; 
		if (!ans) ans=9;
		printf("%lld\n",ans);
	}
}