线性代数笔记15：SVD分解

本节在共轭转置的基础上介绍奇异值和奇异值分解。

谱分解

共轭转置

矩阵$A$的共轭转置$A^H$（又称Hermite共轭、Hermite转置）定义为：

$$A^H = (\bar A) ^T = \bar {A^T}$$

酉矩阵

设$U \in C^{n\times n}$阶复方阵，若$U^HU = I$，则称$U$是酉矩阵。

Hermite矩阵

设$A\in C^{n\times n}$，如果$A^H = A$，那么$A$为Hermite矩阵；

如果$A^H = - A$，则$A$为反Hermite矩阵。

Schur定理

任何一个$n$阶复矩阵都酉相似于一个上三角矩阵，则存在一个$n$阶酉矩阵$U$和一个$n$阶上三角矩阵$R$使得：

$$U^HAU = R$$

其中$R$的对角元是$A$的特征值。

正规矩阵

设$A \in C^{n\times n}$，如果：

$$AA^H = A^HA$$

则称$A$为正规矩阵。

可以证明，对角矩阵，Hermite矩阵，反Hermite矩阵，酉矩阵都是正规矩阵。

酉相似条件

$n$阶矩阵$A$酉相似于一个对角矩阵的充分必要条件为$A$是正规矩阵。

因此，若$A$是$n$阶Hermite矩阵，则$A$必酉相似与实对角矩阵，即存在$n$阶酉矩阵$U$使得：

$$U^HAU = \Lambda$$

因为AH