UVa11464-Even Parity开关问题

最新推荐文章于 2025-03-26 20:14:00 发布

原创最新推荐文章于 2025-03-26 20:14:00 发布 · 213 阅读

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#code #开关问题 #算法设计基础

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初步思路

第一次看见这种问题，没有太多思路，就想直接枚举+剪枝。但如何剪枝呢？首先，如果直接枚举所有的情况，很明显是不可能的，若为 $15*15$ 的矩阵，则需要枚举 $2^{15*15}$ 种方法，实在是太大。因此剪枝成为了必要选择。可以想到，若我们已经确定了第一排的所有元素，则第二排也已经被确定了–因为第二排的元素将决定第一排的每个元素是否符合要求。这样，第二排元素也会确定第三排元素，直到所有元素都确定。

思路总结

经过Google，此种类型的问题被称为“开关问题”，就像多米诺骨牌一样，前面的会影响后面的，因此只要枚举最前面的所有可能情况即可，这样，此问题的复杂度被降到 $O(2^n*n^2)$ ，由于此题目最多等于15，因此可以接受。

代码实现

此题的代码技巧性比较强，耐心看了好久才看懂。

技巧

此题需要对第一排的每个01元素进行枚举，可使用数的二进制形式来模拟枚举，降低运算量。
用“&”运算来表示奇偶性。
多使用<< >> 移位运算符来提高速度，也更直观。
count的次数并不需要挨个计算，将最后算出的矩阵与原始矩阵进行对比即可。

注意点

此题只能将0变为1，不能将1变为0，这是判断条件。

代码实现

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 20;
const int INF = 1<<30;

int dx[] = {0,0,-1};
int dy[] = {-1,1,0};

int a[N][N];
int tmp[N][N];

int ans;


int getSum(int x, int y, int n)
{
    int ret = 0;
    for(int i = 0; i < 3; i++)
    {
        /*只考虑前后上三个方向，因为是从前往后扫描，
        下方向的可以根据前面的和进行更改*/
        int tx = x + dx[i];
        int ty = y + dy[i];
        if(tx >= 1 && tx <= n && ty >= 1 && ty <= n)
            ret += tmp[tx][ty];
    }
    return ret;
}

int check(int s, int n)
{
    //先计算第一行
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        //将s的二进制形式写入矩阵中
        tmp[1][i] = s&1;
        if(tmp[1][i] == 0 && a[1][i] == 1)
            //若只能将1变为0才满足，则不合题意
            return INF;
        //移向下一位
        s>>=1;
    }
    //依次计算后面的
    for(int i = 2; i <= n; i++)
    {
        for(int j = 1; j <= n; j++)
        {
            int ret = getSum(i-1,j,n);
            //计算前一行中三个方向的总和，若已经为偶数，则当前元素填0
            tmp[i][j] = ret & 1;
            if(tmp[i][j] == 0 && a[i][j] == 1)
                //若只能将1变为0才满足，则不合题意
                return INF;
        }
    }
    int cnt = 0;
    for(int i =1 ; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j <= n; j++)
            //通过比较是否相同来计算次数
            cnt += (a[i][j] != tmp[i][j]);
    return cnt;
}

int main()
{
    int t,n;
    cin>>t;
    for(int kcase = 1; kcase <= t; kcase++)
    {
        cin>>n;
        for(int i=1; i<=n; ++i)
        {
            for(int j=1; j<=n; ++j)
            {
                cin>>a[i][j];
            }
        }
        ans = INF;
        for(int s=0; s<=(1<<n)-1; s++)
        {
            ans = min(ans,check(s,n));
        }
        if(ans == INF)
            ans = -1;
        cout<<"Case "<<kcase<<": "<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}

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