【51nod 1847】奇怪的数学题

该博客讨论了一道数学题目,涉及计算特定条件下两数的最大公约数的第二大公约数的K次方之和,并对2^32取模的结果。解题思路提及了最小质因子的概念在解决此类问题中的应用。

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题目描述

给出 N,K ,请计算下面这个式子:
Ni=1Nj=1sgcd(i,j)k∑i=1N∑j=1Nsgcd(i,j)k
其中,sgcd(i, j)表示(i, j)的所有公约数中第二大的,特殊地,如果gcd(i, j) = 1, 那么sgcd(i, j) = 0。
考虑到答案太大,请输出答案对2^32取模的结果.
1≤N≤109,1≤K≤50
样例解释:
因为gcd(i, j)=1时sgcd(i,j)=0对答案没有贡献,所以我们只考虑gcd(i,j)>1的情况.
当i是2时,j是2时,sgcd(i,j)=1,它的K次方是1
当i是2时,j是4时,sgcd(i,j)=1,它的K次方是1
当i是3时,j是3时,sgcd(i,j)=1,它的K次方是1
当i是4时,j是2时,sgcd(i,j)=1,它的K次方是1
当i是4时,j是4时,sgcd(i,j)=2,它的K次方是8
当i是5时,j是5时,sgcd(i,j)=1,它的K次方是1

解题思路

设minp(x)表示x最小的质因子(当x等于1时,minp(x)为0,当x质数时,minp(x)为1)。
于是

ni=1nj=1sgcd(i,j)k∑i=1n∑j=1nsgcd(i,j)k

=d=2ndminp(d)ndi=1ndj=1[sgcd(i,j)==1]=∑d=2ndminp(d)∑i=1⌊nd⌋∑j=1⌊nd⌋[sgcd(i,j)==1]

=d=2ndminp(d)(2ndi=1φ(i)1)=∑d=2ndminp(d)(2∑i=1⌊nd⌋φ(i)−1)

对于phi(i)phi(i)的前缀和就可以直接杜教筛。
至于如何求出dminp(d)dminp(d)
d>ndd>n且d为质数时,dminp(d)dminp(d)为1。
这个就可以通过求>n>n的质数来得出。
我们设
F(i,j)[1,j]iKF(i,j)表示在[1,j]中,不能被前i个质数整除的数的K次方和
H(i,j)[1,j]iH(i,j)表示在[1,j]中,不能被前i个质数整除的数的个数
G(i,j)x[1,j],minp(x)pi,dminp(d)KG(i,j)表示所有x∈[1,j],minp(x)≤pi,dminp(d)K的和
于是,我们可以的出一个递推式
F(i,j)=F(i1,j)pkiF(i1,jpi)F(i,j)=F(i−1,j)−pikF(i−1,⌊jpi⌋)
H(i,j)=H(i1,j)H(i1,jpi)H(i,j)=H(i−1,j)−H(i−1,⌊jpi⌋)
G(i,j)=G(i1,j)+F(i1,jpi)G(i,j)=G(i−1,j)+F(i−1,⌊jpi⌋)
答案就是H(n,n)+G(n,n)H(n以内质数个数,n)+G(n以内质数个数,n)
然后我们发现,当pi>jpi>j时,F(i,j)=1,H(i,j)=1;
p2i>jpi2>j
F(i,j)=F(i1,j)pkiF(i,j)=F(i−1,j)−pik
H(i,j)=H(i1,j)1H(i,j)=H(i−1,j)−1
G(i,j)=G(i1,j)+1G(i,j)=G(i−1,j)+1
因为j只有nn种取值,我们直接预处理出每种取值,然后直接递推。
#include <cmath>
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <map>
const long long inf=2147483647;
const int mo=1e9+7;
const int N=1000005;
const int M=55;
using namespace std;
typedef unsigned int uint;
#define sqr(x) ((x)*(x))
long long _n[N],num,p[N],qn,n,m,SP[N],v1[N],phi[N],nphi[N],nn;
uint F[N],G[N],H[N],lu[N],mi[N],smi[N],s[M][M],S[M],ans,Smi[N];
bool bz[N];
uint poww(uint x,uint y)
{
    uint s=1;
    for(;y;y>>=1,x=x*x)
        if(y&1) s=s*x;
    return s;
}
void pre_P()
{
    mi[1]=phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=qn;i++)
    {
        if(!bz[i])
        {
            p[++p[0]]=i,phi[i]=i-1,mi[i]=poww(i,m),smi[p[0]]=smi[p[0]-1]+mi[i];
        }
        for(int j=1;j<=p[0];j++)
        {
            int k=i*p[j];
            if(k>qn) break;
            bz[k]=true;
            mi[k]=mi[i]*mi[p[j]];
            if(i%p[j]==0)
            {
                phi[k]=phi[i]*p[j];
                break;
            }
            else phi[k]=phi[i]*(p[j]-1);
        }
    }
    for(int i=1;i<=qn;i++) Smi[i]=Smi[i-1]+mi[i],phi[i]+=phi[i-1];
}
void pre_STR()
{
    for(int i=0;i<=m;i++) s[i][i]=1;
    for(int i=1;i<=m;i++)
        for(int j=1;j<i;j++) s[i][j]=s[i-1][j-1]+s[i-1][j]*(i-1);
}
uint get_P(uint n,uint k)
{
    uint val=1;
    for(uint i=n;i>=n-k+1;i--)
        if(i%k==0) val*=i/k; 
        else val*=i;
    return val;
}
void pre()
{
    for(uint i=1,last=1;i<=n;i=last+1) last=n/(n/i),_n[++num]=n/i;
    reverse(_n+1,_n+1+num);

    pre_P(),pre_STR();
    for(int i=1;i<=num;i++)
    {
        H[i]=_n[i];
        if(_n[i]<=qn)
        {
            F[i]=Smi[_n[i]];
            continue;
        }
        S[0]=_n[i];
        for(int k=1;k<=m;k++)
        {
            S[k]=get_P(_n[i]+1,k+1);
            for(int j=0;j<k;j++) S[k]-=((k-j)&1?-1:1)*s[k][j]*S[j];
        }
        F[i]=S[m];
    }
}
uint get_F(long long i,long long j)
{
    long long k;
    k=j<=qn?j:(num-n/j+1);
    return (!i || sqr(p[i])<=j)?F[k]:(p[i]<=j?(F[k]-smi[i]+smi[lu[k]]):1);
}
uint get_H(long long i,long long j)
{
    long long k;
    k=j<=qn?j:(num-n/j+1);
    return (!i || sqr(p[i])<=j)?H[k]:(p[i]<=j?(H[k]-i+lu[k])%mo:1);
}
uint Sphi(int n)
{
    if(n<=qn) return phi[n];
    if(nphi[nn/n]) return nphi[nn/n];
    uint ans=(n&1)?((n+1)>>1)*n:(n>>1)*(n+1);
    for(int i=2,last=1;i<=n;i=last+1)
    {
        last=n/(n/i);
        ans-=Sphi(n/i)*(last-i+1);
    }
    return nphi[nn/n]=ans;
}
int main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&m),qn=sqrt(n);
    pre();
    for(int i=1;i<=p[0];i++)
    {
        for(int j=num;j>=1;j--)
        {
            F[j]-=mi[p[i]]*get_F(i-1,_n[j]/p[i]);
            G[j]+=get_F(i-1,_n[j]/p[i]);
            H[j]-=get_H(i-1,_n[j]/p[i]);
            lu[j]=i;
            if(i==p[0] || sqr(p[i+1])>_n[i])
                v1[j]=G[j]+H[j]-1;
            if(sqr(p[i])>_n[j-1])
            {
                v1[j]=G[j]+H[j]-1;
                break;
            }
        }
    }
    v1[2]=1;
    if(_n[3]==3) v1[3]=2;
    ans=0;
    nn=n;
    for(int i=2;i<=num;i++)
        ans=ans+(v1[i]-v1[i-1])*(2*Sphi(n/_n[i])-1);
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}
题目 51nod 3478 涉及一个矩阵问题,要求通过最少的操作次数,使得矩阵中至少有 `RowCount` 行和 `ColumnCount` 列是回文的。解决这个问题的关键在于如何高效地枚举所有可能的行和列组合,并计算每种组合所需的操作次数。 ### 解法思路 1. **预处理每一行和每一列变为回文所需的最少操作次数**: - 对于每一行,计算将其变为回文所需的最少操作次数。这可以通过比较每对对称位置的值是否相同来完成。 - 对于每一列,计算将其变为回文所需的最少操作次数,方法同上。 2. **枚举所有可能的行和列组合**: - 由于 `N` 和 `M` 的最大值为 8,因此可以枚举所有可能的行组合和列组合。 - 对于每一种组合,计算其所需的最少操作次数,并取最小值。 3. **计算操作次数**: - 对于每一种组合,需要计算哪些行和列需要修改,并且注意行和列的交叉点可能会重复计算,因此需要去重。 ### 代码实现 以下是一个可能的实现方式,使用了枚举和位运算来处理组合问题: ```python def min_operations_to_palindrome(matrix, row_count, col_count): import itertools N = len(matrix) M = len(matrix[0]) # Precompute the cost to make each row a palindrome row_cost = [] for i in range(N): cost = 0 for j in range(M // 2): if matrix[i][j] != matrix[i][M - 1 - j]: cost += 1 row_cost.append(cost) # Precompute the cost to make each column a palindrome col_cost = [] for j in range(M): cost = 0 for i in range(N // 2): if matrix[i][j] != matrix[N - 1 - i][j]: cost += 1 col_cost.append(cost) min_total_cost = float('inf') # Enumerate all combinations of rows and columns rows = list(range(N)) cols = list(range(M)) from itertools import combinations for row_comb in combinations(rows, row_count): for col_comb in combinations(cols, col_count): # Calculate the cost for this combination cost = 0 # Add row costs for r in row_comb: cost += row_cost[r] # Add column costs for c in col_comb: cost += col_cost[c] # Subtract the overlapping cells for r in row_comb: for c in col_comb: # Check if this cell is part of the palindrome calculation if r < N // 2 and c < M // 2: if matrix[r][c] != matrix[r][M - 1 - c] and matrix[N - 1 - r][c] != matrix[N - 1 - r][M - 1 - c]: cost -= 1 min_total_cost = min(min_total_cost, cost) return min_total_cost # Example usage matrix = [ [0, 1, 0], [1, 0, 1], [0, 1, 0] ] row_count = 2 col_count = 2 result = min_operations_to_palindrome(matrix, row_count, col_count) print(result) ``` ### 代码说明 - **预处理成本**:首先计算每一行和每一列变为回文所需的最少操作次数。 - **枚举组合**:使用 `itertools.combinations` 枚举所有可能的行和列组合。 - **计算成本**:对于每一种组合,计算其成本,并考虑行和列交叉点的重复计算问题。 ### 复杂度分析 - **时间复杂度**:由于 `N` 和 `M` 的最大值为 8,因此枚举所有组合的时间复杂度为 $ O(N^{RowCount} \times M^{ColCount}) $,这在实际中是可接受的。 - **空间复杂度**:主要是存储预处理的成本,空间复杂度为 $ O(N + M) $。 ### 相关问题 1. 如何优化矩阵中行和列的枚举组合以减少计算时间? 2. 在计算行和列的交叉点时,如何更高效地处理重复计算的问题? 3. 如果矩阵的大小增加到更大的范围,如何调整算法以保持效率? 4. 如何处理矩阵中行和列的回文条件不同时的情况? 5. 如何扩展算法以支持更多的操作类型,例如翻转某个区域的值?
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