[CF453D]Little Pony and Elements of Harmony

题目

  点这里看题目。

分析

  设$count(x)$为$x$的二进制中$1$的个数。因此$f(u,v)=count(u\oplus v)$
  看一看每次转移，我们发现最不友好的东西就是$f(u,v)$，因此我们得想办法把它从我们的计算中丢掉。
  发现对于$[0,n)$中的所有数，两两异或之后不会超过$n$。并且对于一个固定的数$x$，其$count(x)$是不会变的。因此我们考虑将$b$数组转存出来：
$$a[i]=b[count(i)]$$
  因此有：
$$e[u]=\sum _{v}a[u\oplus v]e[v]$$
  考虑改变枚举顺序：
e [ u ] = ∑ v a [ u ⊕ v ] e [ v ] = ∑ i = 0 m a [ i ] ∑ u ⊕ v = i e [ v ] = ∑ i = 0 m a [ i ] ∑ v ⊕ i = u e [ v ] = ∑ v ⊕ i = u a [ i ] e [ v ] \begin{aligned} e[u] &=\sum_v a[u\oplus v]e[v]\\ &=\sum_{i=0}^ma[i]\sum_{u\oplus v=i}e[v]\\ &=\sum_{i=0}^m a[i]\sum_{v\oplus i=u}e[v]\\ &=\sum_{v\oplus i=u}a[i]e[v]\end{aligned} e[u]​