【学习笔记】AGC043D Merge Triplets

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#学习 #算法 #c++

于 2023-01-05 16:34:11 首次发布

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数数

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博客围绕算法展开，从必要条件出发，介绍按前缀max对结果序列进行划分的方法。给出一个结论，即长度为i的段的数目满足一定关系，并进行了证明。最后指出方案数为不同的划分数目，复杂度为O(n2)。

不妨从必要条件入手，如果 $a_i>a_{i+1}$ 那么显然 $i$ 和 $i + 1$ 在同一块中，那么不妨做一个工作，按前缀 $max⁡\max$ 将结果序列进行划分。

然后有一个神必的结论： $c1≥c2c_1\ge c_2$ (或者 $c2+c3≤nc_2+c_3\le n$ )，其中 $c_i$ 表示长度为 $i$ 的段的数目。证明考虑，将结果序列划分成 $n$ 个子序列，用 $p_{i,j}$ 表示第 $i$ 个子序列第 $j$ 个数的位置，那么 $p_{i,1},p_{i,2},p_{i,3}$ 递增并且对于 $j = 2, 3$ ，满足 $p_{i,j-1},p_{i,j})$ 之间的数均比 $a_{p_{i,j}}$ 小。显然划分的每一组的第一个数都是前缀最大值，因此构造是平凡的。那么方案数就是不同的划分数目。复杂度 $O(n^2)$ 。

#include<bits/stdc++.h>
#define pb push_back
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const int N=6e3+5; 
int n,mod;
int f[N][N];
void add(int &x,int y){
	if((x+=y)>=mod)x-=mod;
}
int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0),cout.tie(0);
	cin>>n>>mod;f[3*n][0]=1;
	for(int i=3*n;i>0;i--){
		for(int j=0;j<=n;j++){
			if(f[i][j]){
				add(f[i-1][j],f[i][j]);
				if(i>=2)add(f[i-2][j+1],(ll)f[i][j]*(i-1)%mod);
				if(i>=3)add(f[i-3][j+1],(ll)f[i][j]*(i-1)%mod*(i-2)%mod);
			}
		}
	}int res(0);
	for(int i=0;i<=n;i++)add(res,f[0][i]);
	cout<<res;
}