【学习笔记】AGC054C Roughly Sorted

仰望星空的蚂蚁

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分类专栏：数数妙妙题文章标签：学习算法 c++

于 2023-01-05 17:44:38 首次发布

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文章讨论了一种序列优化问题，其中涉及计算序列P的步数下界，该下界与序列中元素的比较计数有关。文章指出，可以通过构建双射关系处理特定条件，并提出了从左到右的优化策略。对于满足特定条件的元素，可以移动一定的距离。最后，给出了时间复杂度为O(n^2)的解决方案并提供了代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

~~题目不是我搬的。~~

记 $c_i$ 表示 $i$ 之前比 $p_i$ 大的数的个数。合法的 $P$ 的步数下界是 $\sum_{i=1}^n\max(c_i-K,0)$ 。并且可以注意到， ${\{c_i\}|c_i<i\}$ 与序列 $P$ 形成双射关系。

显然下界是能取到的。难点在于观察到。发现 $d (P, P^{'})$ 不好刻画，但是我们能得到形式化的构造过程：从左往右考虑，如果 $c_i'>K$ 那么就把 $i$ 向前移 $c_i-K$ 个位置。结合题意，我们得到 $P$ 中 $c_i<K$ 的点没有移动，那么我们只需求出 $P$ 中 $c_i=K$ 的点能向后移动的距离然后乘起来即可。事实上因为后面的数都比 $p_i$ 大所以答案是 $\prod_{c_i=K}(n-i+1)$ 。复杂度 $O(n^2)$ 。

#include<bits/stdc++.h>
#define pb push_back
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const int mod=998244353;
int n,K,p[5005];
ll mul=1;
int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0),cout.tie(0);
	cin>>n>>K;for(int i=1;i<=n;i++)cin>>p[i];
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int l=0;for(int j=1;j<i;j++)if(p[j]>p[i])l++;
		if(l>K){
			cout<<0;
			return 0;
		}
		if(l==K){
			int r=1;
			for(int j=i+1;j<=n;j++){
				if(p[j]>p[i])r++;
				else break;
			}mul=mul*r%mod;
		}
	}cout<<mul;
}