中国剩余定理 && 扩展中国剩余定理（模板）

最新推荐文章于 2022-03-24 16:11:58 发布

原创最新推荐文章于 2022-03-24 16:11:58 发布 · 625 阅读

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本文深入探讨了中国剩余定理及其扩展版本在解决特定数学问题中的应用，通过实例展示了如何求解满足多个模条件的最小正整数，包括算法实现及代码示例。

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中国剩余定理 && 扩展中国剩余定理

一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。

例题：

一个正整数K，给出K Mod 一些质数的结果，求符合条件的最小的K。例如，K % 2 = 1, K % 3 = 2, K % 5 = 3。符合条件的最小的K = 23。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAX = 1e3 + 10;
struct node{
    int p, m;
}s[MAX];
int main(){
    int n;
    while(scanf("%d", &n) != EOF){
        for(int i = 0; i < n; i++)
            scanf("%d%d",&s[i].p, &s[i].m);
        int ans = s[0].m, temp = 1;
        for(int i = 0; i < n-1; i++){
            temp *= s[i].p;
            while(ans % s[i+1].p != s[i+1].m){
                ans += temp;
            }
        }
        printf("%d\n", ans);
    }
    return 0;
}

扩展中国剩余定理

一个正整数K，给出K Mod 一些数（不一定是质数）的结果，求符合条件的最小的K。例如，K % 2 = 1, K % 3 = 2, K % 5 = 3。符合条件的最小的K = 23。

整个算法的思路就是求解k次扩展欧几里得

#pragma GCC optimize(2)
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define clr(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define line cout<<"-----------------"<<endl;

typedef long long ll;
const int maxn = 1e5+10;
const int MAXN = 1e6+10;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int MOD = 1e9+7;
const int N = 1010;

ll ai[maxn], bi[maxn], n;

ll mul(ll a, ll b, ll mod){
    ll res = 0;
    while(b > 0){
        if(b & 1) res = (res + a) % mod;
        a = (a + a) % mod;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y){
    if(b == 0){x = 1; y = 0; return a;}
    ll gcd = exgcd(b, a % b, x, y);
    ll tp = x;
    x = y; y = tp - a / b * y;
    return gcd;
}
ll excrt(){
    ll x, y, k;
    ll M = bi[1], ans = ai[1];//第一个方程的解特判
    for(int i = 2; i <= n; i++){
        ll a = M, b = bi[i], c = (ai[i] - ans % b + b) % b;//ax≡c(mod b)
        ll gcd = exgcd(a, b, x, y), bg = b / gcd;
        if(c % gcd != 0) return -1; //判断是否无解，然而这题其实不用
        x = mul(x, c / gcd, bg);//把x转化为最小非负整数解
        ans += x * M;//更新前k个方程组的答案
        M *= bg;
        ans = (ans % M + M) % M;
    }
    return (ans % M + M) % M;
}

int main(){
    scanf("%lld", &n);
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
        scanf("%lld%lld", &bi[i], &ai[i]);
    printf("%lld",excrt());
    return 0;
}