佩尔方程

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佩尔方程

若一个丢番图方程具有以下的形式：

x^2 - ny^2= 1

且n为正整数，则称此二元二次不定方程为佩尔方程(英文：Pell's equation 德文：Pellsche Gleichung)

若n是完全平方数，则这个方程式只有解(\pm 1, 0)（实际上对任意的n，(\pm 1, 0)都是解）。对于其余情况，拉格朗日证明了佩尔方程总有解。而这些解可由\sqrt{n}的连分数求出。


佩尔方程的解

设\tfrac{p_i}{q_i} 是\sqrt{n}的连分数表示:[a_{0}; a_{1}, a_{2}, a_{3}, \,\ldots ]的渐近分数列，由连分数理论知存在 i 使得(pi,qi) 为佩尔方程的解。取其中最小的 i，将对应的 (pi,qi) 称为佩尔方程的基本解，或最小解，记作(x1,y1) ，则所有的解(xi,yi) 可表示成如下形式：

x_i + y_i\sqrt n = (x_1 + y_1\sqrt n)^i.

或者由以下递推公式得到：

\displaystyle x_{i+1} = x_1 x_i + n y_1 y_i,
\displaystyle y_{i+1} = x_1 y_i + y_1 x_i.

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