【算法竞赛学习笔记】佩尔方程-数学提升计划

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于 2021-10-31 12:43:38 发布 · 699 阅读

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#算法 #线性代数 #矩阵 #程序设计 #acm竞赛

本文探讨了佩尔方程的性质及其解法，包括如何使用矩阵快速幂迭代法解决佩尔方程，并通过实例HDU3292介绍了第二类佩尔方程的解题思路。通过迭代公式和矩阵运算，可以高效地求解佩尔方程的通解，适合ACM竞赛训练和数学爱好者学习。

title : 佩尔方程
date : 2021-10-31
tags : ACM,数学
author : Linno

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佩尔方程

形如 $x^2-dy^2=1(d>1且d不为完全平方数)$ 的不定方程称为佩尔方程
$设两个解为(x_1,y_1)和(x_2,y_2)，那么有\\ \begin{cases} x_1^2-dy_1^2=1\\ x_2^2-dy_2^2=1\\ \end{cases} 得到(x_1^2-dy_1^2)(x_2^2-dy_2^2)=1\\ 展开得到x_1^2x_2^2-dx_1^2y_2^2-dy_1^2x_2^2+d^2y_1^2y_2^2=1\\ \Rightarrow (x_1^2x_2^2+d^2y_1^2y_2^2)-d(dx_1^2y_2^2+y_1^2x_2^2)=1\\ \Rightarrow (x_1^2x_2^2+d^2y_1^2y_2^2+2dx_1x_2y_1y_2)-d(dx_1^2y_2^2+y_1^2x_2^2-2dx_1x_2y_1y_2)=1\\ \Rightarrow (x_1x_2+dy_1y_2)-d(dx_1^2y_2^2+y_1^2x_2^2-2dx_1x_2y_1y_2)=1\\ 所以x_3=x_2x_1+dy_2y_1,y_3=x_2y_1+x_1y_2\\ 根据迭代公式，通解为：\\ x_n=x_{n-1}x_1+dy_{n-1}y_1,y_n=x_{n-1}y_1+y_{n-1}x_1\\$