pell 方程

pell方程：

$$x^2-d*y^2=1$$

我们知道它的所有解符合这个式子：

$$x_n+y_n*\sqrt n =(x_1+y*\sqrt n)^n$$
那么以$n=2$为例：
$$\begin{align*} x_2+y_2*\sqrt n & =(x_1+y*\sqrt n)*(x_1+y*\sqrt n) \\ &=x_1^2+y_1^2*n+(x_1*y_1+x_1*y_1)*\sqrt n \end{align*}$$
那么我们得出：
$$\begin{align*} x_2&=x_1^2+y_1^2*n \\ y_2&=(x_1*y_1+x_1*y_1) \end{align*}$$
因此我们可以构造 矩阵来求
$$\left[ \begin{matrix} x_2 & y_2 \\ \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} x_1 & y_1 \\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x_1 & y_1 \\ y_1*n & x_1 \\ \end{matrix} \right]$$
这样 我们就推出 第n大解：
$$\left[ \begin{matrix} x_n & y_n \\ \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} x_1 & y_1 \\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x_1 & y_1 \\ y_1*n & x_1 \\ \end{matrix} \right]^{n-1}$$