本文详细介绍了佩尔方程的概念及解法，包括第一类和第二类佩尔方程的定义、求解方法及其应用实例。并通过具体例题展示了如何求解最小正整数解及所有解。
这里写目录标题
佩尔方程
第一类佩尔方程
定义：形如 x 2 − d y 2 = 1 x^2 - dy^2 = 1 x2−dy2=1(d>1,且d不是完全平方数)
要求第一类佩尔方程的解都是正整数解,也即 ( x , y ) , x > 0 , y > 0 (x,y),x>0,y>0 (x,y),x>0,y>0
为什么要求d不是完全平方数呢？
我们假设d是完全平方数
则 x 2 − d y 2 = 1 x^2 - dy^2 = 1 x2−dy2=1等价于 ( x + d ∗ y ) ( x − d ∗ y ) = 1 (x+\sqrt d*y)(x-\sqrt d*y) = 1 (x+d∗y)(x−d∗y)=1
所以它的解只有可能是(1,0),(-1,0)，不是正整数解。
为什么d>1呢?因为如果d<=1，解也不会是正整数解，自己证明试试看。
显然佩尔方程 x 2 − d y 2 = 1 x^2 - dy^2 = 1 x2−dy2=1有无数多个解，那么如何求最小的正整数解呢
我们把式子化简一下就变成了， x = 1 + d y 2 x=\sqrt{1+dy{2}} x=1+dy2,我们从y=1开始枚举y，如果 1 + d y 2 \sqrt{1+dy{2}} 1+dy2是整数的话，此时的x,y就是最小的正整数，也就得到了最小正整数解
那么如何得到所有解呢，也就是说我们最小正整数解是(x1,y1)，那么如何得到(x2,y2),(x3,y3),…？
这里给出通解的迭代公式
x n = x n − 1 x 1 + d y n − 1 y 1 x_n = x_{n-1}x_1 + dy_{n-1}y_1 xn=xn−1x1+dyn−1y1
y n = x n − 1 y 1 + y n − 1 x 1 y_n = x_{n-1}y_1 + y_{n-1}x_1 yn=xn−1y1+yn−1x1
这个通解公式怎么推导的呢？我们要知其然，而知其所以然
推导：我们令(x1,y1),(x2,y2)为方程的两个特解
x 1 2 − d y 1 2 = 1 x_1^2-dy_1^2=1 x12−dy12=1----①
x 2 2 − d y 2 2 = 1 x_2^2-dy_2^2=1 x22−dy22=1----②
两式想乘得到
( x 1 2 − d y 1 2 ) ∗ ( x 2 2 − d y 2 2 ) = 1 (x_1^2-dy_1^2)*(x_2^2-dy_2^2)=1 (x12−dy12)∗(x22−dy22)=1
展开得到
x 1 2 x 2 2 − d x 1 2 y 2 2 − d y 1 2 x 2 2 + d 2 y 1 2 y 2 2 = 1 x_1^2x_2^2-dx_1^2y_2^2-dy_1^2x_2^2+d^2y_1^2y_2^2=1 x12x22−dx12y22−dy12x22+d2y12y
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