56、矩形斯坦纳树与树的紧凑单调绘制算法解析

矩形斯坦纳树与树的紧凑单调绘制算法解析

在计算机科学领域，矩形斯坦纳树问题和树的单调绘制问题是两个重要的研究方向。矩形斯坦纳树问题在集成电路设计、网络布线等领域有广泛应用，而树的单调绘制问题则在图可视化、地理信息系统等方面发挥着重要作用。下面将详细介绍这两个问题的相关算法和解决方案。

矩形斯坦纳树问题

问题背景与基本概念

矩形斯坦纳树问题旨在找到一种最优的嵌入方式，使得在给定拓扑结构下，树的成本最小。当所有位置和长度限制为整数时，存在一种半整数的最优嵌入。

动态规划算法

• 引理与改进思路 ：若半整数嵌入 $\pi$ 不是最优的，则存在半整数嵌入 $\pi’$，满足 $\pi(v) - \pi’(v) \in {-0.5, 0, 0.5}^2$ 且 $c(\pi’) \leq c(\pi) - 0.5$。这为基于动态规划改进非最优半整数嵌入提供了思路。
• 算法步骤 ：
  1. 初始时，将所有斯坦纳点置于根节点，得到初始解，成本为 $C = \sum_{t \in T} ||p(t)||_1$。
  2. 对于每个顶点 $v \in V(S)$、每个平移 $\delta \in {-0.5, 0, 0.5}^2$ 和每个可能的长度限制 $l$，计算以 $v$ 为根的树的最小嵌入长度 $\gamma(v, \delta, l)$。
  3. 不断应用动态规划，直到新计算的嵌入成本不再降低。由于每次成本至少降低 $0.5$，经过 $2C$ 次迭代可得到最优嵌入。该算法的伪多