分治算法课后习题

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#算法 #学习

于 2023-09-29 15:00:25 首次发布

引言

在分治算法——经典案例分析这篇博客中，我们从二分搜索这个案例入手，介绍了分治算法的三个步骤：分解、解决、合并，并且留下了几道课后习题。本文可作为前面这篇文章课后习题的参考答案，如果你的解题思路和恭仔是类似的，那恭喜你已经掌握了分治这一解题利器。

题一：寻找中位数

输入: 数组a[1…n]
输出: a[1],…,a[n]的中位数

对于中位数问题，我们可以将其转变为找到第k小的数。

输入: 数组a[1…n]，整数k
输出: a中第k小的数

二分排序

对于上述思路，可以先对数组进行二分排序：
划分: 选择一个主元V，然后重新排列数组。

L: 小于v的元素; M: 等于v的元素; R: 大于v的元素

k =4: 第4小的数必然是 5 (3 < k< 3 +2)
k =1: 第1小的数必然在L中，且必然是L中第1小的数 (k<3)
k =8: 第8小的数必然在R中，且必然是R中第3小的数 (k >3 + 2)

$select(a,k)=\left\{\begin{matrix} select(L,K)& k \leq \left | L \right |\\ v & \left | L \right |\leq k\leq \left | L \right |+\left | M \right |\\ select(R,k-\left | L \right |-\left | M \right |) &k> \left | L \right |+\left | M \right | \end{matrix}\right.$

int partition(vector<int>& arr, int low, int high) {
   
   
    int pivot = arr[high]; // 选取最后一个元素作为基准值
    int i = low - 1; // 小于基准值的部分的右边界

    for (int j = low; j < high; j++) {
   
   
        if (arr[j] < pivot) {
   
   
            i++;
            swap(arr[i], arr[j]);