分治算法——经典案例分析

目录

案例一：二分搜索

案例二：数组元素计数

案例三：任务调度

课后习题

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分治算法（Divide and Conquer）是一种解决问题的算法设计策略，它将一个大问题分解成若干个规模较小且相互独立的子问题，然后将这些子问题的解合并起来，从而得到原问题的解。

分治算法通常包括以下三个步骤：

1. 分解：将原问题分解为⼀组⼦问题，⼦问题与原问题类似，但是规模更小
2. 解决：递归求解⼦问题，如果⼦问题⾜够小，停⽌递归，直接求解
3. 合并：将⼦问题的解组合成原问题的解

分治算法的典型应用包括排序算法（如快速排序、归并排序）、搜索算法（如二分查找）、数学问题（如大整数乘法）等。

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案例一：二分搜索

输入：⼀个已排序数组 a[1...n]（元素各不相同），⼀个元素 x

输出：如果 x = a[j]，返回 j，否则返回 -1

分治测略：

• 分解：数组Left，中间元素 a[mid]，数组Right
• 解决：如果 a[mid]，返回 mid，否则递归求解数组Left或者数组Right
  • 如果数组为空，停⽌递归，直接求解（元素不存在）
• 合并：不需要额外⼯作

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

//分治递归函数，复杂度为O(logn)
int binary_search(const vector<int>& a, int x, int low, int high)
{
    if (low > high) return -1;
    int mid = (low + high) / 2;
    if (a[mid] == x) return mid;
    if (a[mid] > x)
        return binary_search(a, x, low, mid - 1);
    else
        return binary_search(a, x, mid + 1, high);
}