70-爬楼梯(fib)

题目

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢?

注意:给定 n 是一个正整数。

示例 1:

输入: 2
输出: 2
解释: 有两种方法可以爬到楼顶。

  1. 1 阶 + 1 阶
  2. 2 阶
    示例 2:

输入: 3
输出: 3
解释: 有三种方法可以爬到楼顶。

  1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
  2. 1 阶 + 2 阶
  3. 2 阶 + 1 阶

题解

class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
        int[] ans=new int[n+1];
        ans[0]=1;
        ans[1]=1;
        for(int i=2;i<=n;i++){
            ans[i]=ans[i-1]+ans[i-2];
        }
        return ans[n];
    }
}

笔记:

  1. 递归超时。
  2. 动态规划要明确边界条件。
### 高精度爬楼梯算法实现 对于爬楼梯问题,在考虑高精度的情况下,主要挑战在于当楼梯层数较大时,计算的结果可能会超出标准整型变量的表示范围。因此,需要采用大数运算来处理这种情况。 #### 大数加法原理 为了支持高精度计算,通常会使用数组存储大数每一位上的数值,并通过模拟手工加法的方式完成两个大数相加的操作[^1]。 ```cpp vector<int> add(const vector<int>& a, const vector<int>& b) { vector<int> result; int carry = 0; for (size_t i = 0; i < max(a.size(), b.size()) || carry; ++i) { if (i < a.size()) carry += a[i]; if (i < b.size()) carry += b[i]; result.push_back(carry % 10); carry /= 10; } return result; } ``` 此函数实现了两个向量形式的大数相加操作,其中`carry`用于保存进位值。 #### 动态规划求解方案 考虑到每次可以选择跨过一层或两层台阶,则到达某一层的方法总数等于前一层加上前两层方法之和。这可以通过动态规划的思想解决: - 定义状态转移方程 `dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]` - 初始化条件为 `dp[0] = dp[1] = 1` 由于题目要求高精度输出结果,这里我们将每一项都视为一个大数来进行累加。 ```cpp #include <iostream> #include <vector> using namespace std; // ... 上面定义过的add函数 ... int main() { int N; cin >> N; // 使用二维向量储存斐波那契序列中的每一个大数 vector<vector<int>> fib(N + 1); // 初始条件设置 fib[0].push_back(1); // 表示fib[0]=1 fib[1].push_back(1); // 表示fib[1]=1 // 计算斐波那契数列直到N for (int i = 2; i <= N; ++i) { fib[i] = add(fib[i - 1], fib[i - 2]); } // 输出最终结果 reverse(begin(fib[N]), end(fib[N])); for(auto& digit : fib[N]) cout << digit; cout << endl; return 0; } ``` 上述代码片段展示了如何利用C++编程语言以及之前提到的大数加法规则来解决问题并给出精确答案[^3]。
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