数据结构与算法-树与二叉树

树的基本概念

二叉树是一种能够将链表插入的灵活性和有序数组查找的高效性结合起来的一种数据结构。

基本术语

Edge、Root、Leaf

Path

Height

需要注意的是叶子节点的高度为0，如果树只有一个节点，那么这个节点的高也是0

Depth

需要注意的是根节点的深度（Depth）是0.

从Height和Depth的对比，它们的方向刚好是相反的。

Level

节点的Level是从1开始的，Level = Depth+1，根节点的Level=1

也有很多书籍上Level是从0开始的，这样的话Level就等于Depth，根节点的Level=0

二叉树的分类

满二叉树

在一棵二叉树中。如果所有分支节点都存在左子树和右子树，并且所有叶子节点都在同一层上，这样的二叉树称为满二叉树。

满二叉树的特点有：

1)叶子节点只能出现在最下一层。出现在其它层就不可能达成平衡。

2)非叶子姐弟啊的度一定为2.

3)在同样深度的二叉树中，满二叉树的节点个数最多，叶子数最多。

完全二叉树

除了最后一层都是满的（都有两个子节点），并且最后一层的节点是从左往右排列的。

完全二叉树，通俗点说就是节点按层从左往右排列。如果最后一层排满了就是满二叉树，没有满则是完全二叉树

二叉树性质

1）在二叉树的第i层上最多有2^(i-1) 个节点 。（i>=1）
2）二叉树中如果深度为k,那么最多有2^k-1个节点。(k>=1）
3）n0=n2+1 n0表示度数为0的节点数，n2表示度数为2的节点数。
4）在完全二叉树中，具有n个节点的完全二叉树的深度为[log2n]+1，其中[log2n]是向下取整。
5）若对含 n 个结点的完全二叉树从上到下且从左至右进行 1 至 n 的编号，则对完全二叉树中任意一个编号为 i 的结点有如下特性：

(1) 若 i=1，则该结点是二叉树的根，无双亲, 否则，编号为 [i/2] 的结点为其双亲结点;
(2) 若 2i>n，则该结点无左孩子， 否则，编号为 2i 的结点为其左孩子结点；
(3) 若 2i+1>n，则该结点无右孩子结点， 否则，编号为2i+1 的结点为其右孩子结点。

二叉树的存储结构：

1.顺序存储

顺序存储结构就是使用一维数组存储二叉树中的节点，并且节点的存储位置，就是数组的下标索引。

由上图可以看出，当二叉树为完全二叉树时，节点数刚好存满数组。

如果二叉树不是完全二叉树呢？？？？

上图中，浅色的节点代表不存在，那么顺序存储的结构为：

可以看出，非完全二叉树，会导致空间浪费。

2.链式存储

如果顺序存储不能满足二叉树的存储要求，那么可以考虑使用链式存储。可以将数据结构定义为一个数据和两个指针域。

代码为：

public class TreeNode {
    public int val;
    public TreeNode left;
    public TreeNode right;
    public TreeNode(int x) { val = x; }
}

上图的用链式存储为：

 二叉树遍历

二叉树的遍历是指从二叉树的根节点出发，按照某种次序依次访问二叉树中的所有接节点，使得每个节点被访问依次，且仅被访问依次。

二叉树的访问次序可以分为四种：

前序遍历

中序遍历

后续遍历

层序遍历

前序遍历

通俗的说就是从二叉树的根结点出发，当第一次到达结点时就输出结点数据，按照先向左再向右的方向访问。

从根结点出发，则第一次到达结点A，故输出A;
继续向左访问，第一次访问结点B，故输出B；
按照同样规则，输出D，输出H；
当到达叶子结点H，返回到D，此时已经是第二次到达D，故不在输出D，进而向D右子树访问，D右子树不为空，则访问至I，第一次到达I，则输出I；
I为叶子结点，则返回到D，D左右子树已经访问完毕，则返回到B，进而到B右子树，第一次到达E，故输出E；
向E左子树，故输出J；
按照同样的访问规则，继续输出C、F、G；

二叉树的前序遍历输出为：
ABDHIEJCFG

中序遍历

中序遍历就是从二叉树的根结点出发，先访问左节点，再访问父节点，最后访问右节点。

从根结点出发，则第一次到达结点A，不输出A，继续向左访问，第一次访问结点B，不输出B；继续到达D，H；
到达H，H左子树为空，则返回到H，此时第二次访问H，故输出H；
H右子树为空，则返回至D，此时第二次到达D，故输出D；
由D返回至B，第二次到达B，故输出B；
按照同样规则继续访问，输出J、E、A、F、C、G；

二叉树的中序遍历输出为：
HDIBJEAFCG

后序遍历

后序遍历就是从二叉树的根结点出发，当第三次到达结点时就输出结点数据，按照先向左在向右的方向访问。

二叉树后序访问如下：

从根结点出发，则第一次到达结点A，不输出A，继续向左访问，第一次访问结点B，不输出B；继续到达D，H；
到达H，H左子树为空，则返回到H，此时第二次访问H，不输出H；
H右子树为空，则返回至H，此时第三次到达H，故输出H；
由H返回至D，第二次到达D，不输出D；
继续访问至I，I左右子树均为空，故第三次访问I时，输出I；
返回至D，此时第三次到达D，故输出D；
按照同样规则继续访问，输出J、E、B、F、G、C，A；

二叉树的后序遍历输出为：
HIDJEBFGCA

虽然二叉树的遍历过程看似繁琐，但是由于二叉树是一种递归定义的结构，故采用递归方式遍历二叉树的代码十分简单。
递归实现代码如下：

package huawei.tree;

public class OrderTraverse {

    /*二叉树的前序遍历递归算法*/
    public void preOrderTraverse(TreeNode root) {
        if(root == null) {
            return;
        }
        System.out.println(root.val);
        preOrderTraverse(root.left);    /*再先序遍历左子树*/
        preOrderTraverse(root.right);    /*最后先序遍历右子树*/
    }


    /*二叉树的中序遍历递归算法*/
    public void inOrderTraverse(TreeNode root) {
        if(root == null) {
            return;
        }
        inOrderTraverse(root.left); /*中序遍历左子树*/
        System.out.println(root.val);
        inOrderTraverse(root.right); /*最后中序遍历右子树*/
    }


    /*二叉树的后序遍历递归算法*/
    public void postOrderTraverse(TreeNode root) {
        if(root == null) {
            return;
        }
        postOrderTraverse(root.left);   /*先后序遍历左子树*/
        postOrderTraverse(root.right);   /*再后续遍历右子树*/
        System.out.println(root.val); /*显示结点数据，可以更改为其他对结点操作*/
    }
}

层次遍历

层序遍历也就是广度优先遍历

import huawei.tree.TreeNode;
import java.util.ArrayList;
import java.util.Deque;
import java.util.LinkedList;
import java.util.List;

public class BinaryTreeBfs {
    static List<TreeNode> res = new ArrayList<>();
    public static void main(String[] args) {
        TreeNode head = new TreeNode(1);
        TreeNode second = new TreeNode(2);
        TreeNode three = new TreeNode(3);
        TreeNode four = new TreeNode(4);
        TreeNode five = new TreeNode(5);
        TreeNode six = new TreeNode(6);
        TreeNode seven = new TreeNode(7);
        head.right = three;
        head.left = second;
        second.right = five;
        second.left = four;
        three.right = seven;
        three.left = six;
        System.out.print("广度优先遍历结果：");
        new BinaryTreeBfs().boardFirstSearch(head);
        for (TreeNode node : res) {
            System.out.print(node.val + " ");
        }
    }


    //广度优先使用Queue
    public void boardFirstSearch(TreeNode root) {
        if (root == null) {
            return;
        }
        Deque<TreeNode> deque = new LinkedList<>();
        deque.offer(root);
        while (!deque.isEmpty()) {
            TreeNode node = deque.poll();
            res.add(node);
            if (node.left != null) {
                deque.offer(node.left);
            }
            if (node.right != null) {
                deque.offer(node.right);
            }
        }
    }
}