考研数学：一元函数微分学-优快云博客

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一元函数微分学

一元函数微分学

一元函数微分学相关命题的常见反例

狄利克雷函数： $f (x)$ 不连续
$\sin\frac{1}{x}$ （震荡间断点）

下面这题选B，请你为其他三个选项分别举出反例
在这里插入图片描述

函数 $\cos|x|$ 是否可导

1. 当 $x > 0$ 时
$∣ x ∣ = x$ ，函数为 $\cos x$ ，其导数为 $-\sin x$ ，显然可导。

2. 当 $x < 0$ 时
$∣ x ∣ = - x$ ，函数为 $\cos(-x) = \cos x$ （余弦函数是偶函数），其导数为 $-\sin x$ ，同样可导。

3. 当 $x = 0$ 时
需通过左右导数判断：

右导数（ $\to 0^+$ ）： $\lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{\cos\Delta x - \cos0}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{\cos\Delta x - 1}{\Delta x} = 0$ （等价无穷小替换： $\cos\Delta x - 1 \sim -\frac{1}{2}\Delta x^2$ ）。
左导数（ $\to 0^-$ ）： $\lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{\cos(-\Delta x) - \cos0}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{\cos\Delta x - 1}{\Delta x} = 0$ 。

左右导数相等（均为0），因此 $x = 0$ 处也可导。

结论：函数 $\cos|x|$ 在 全体实数域 $\mathbb{R}$ 上处处可导，其导数为 $-\sin x$ 。

间断点

看下面这个题，这个题要是会了，基本上间断点的题就再也难不倒你了
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$\sqrt{\frac{\left|x\right|}{a}}+\sqrt{\frac{\left|y\right|}{b}}=1$ 的图像长什么样？（星形线的图像）

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曲率计算公式

直角坐标下的曲率计算公式
在这里插入图片描述
参数方程的曲率计算公式

在这里插入图片描述
推导过程如下

在这里插入图片描述

极坐标下的曲率计算公式
这个我们就是用上面的参数方程公式来做的
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曲线在某点的曲率圆圆心位于该点切线的“法线方向”，但到底在切线的哪一侧？上方还是下方？

这是曲率中一个非常关键但容易混淆的问题。
答案非常明确： 曲率圆圆心在曲线的凹侧（concave side）

也就是说曲线向哪边“弯”，圆心就在哪边，即圆心的位置和曲线的凹凸性有关。

如果该曲线在该点二阶可导，那么我们就可以通过该点二阶导的正负来判断圆心的位置，即计算 $f''(x_0)$

若 $f^{''} > 0$ ：圆心在上侧
若 $f^{''} < 0$ ：圆心在下侧

（更一般的非函数形式也可以通过 $\vec r''$ 与 $\vec T$ 的方向关系判断。）

📌 用一句话总结

曲率圆圆心永远在曲线的凹侧。
凹向上 → 圆心在上；凹向下 → 圆心在下。

比较 $sin x)^a$ 和 $sin(x^a)$ ，以及 $tan x)^a$ 和 $tan(x^a)$

完整题目：在 x→0⁺，0<x<1，a>1 的情况下，比较
$sin x)^a$ 和 $sin(x^a)$ ，以及 $tan x)^a$ 和 $tan(x^a)$ 。

解题思路1：通过泰勒展开来估计

1️⃣ $sin x)^a$ 和 $sin(x^a)$

在 $x\to0$ 时：

$\sin x = x-\frac{x^3}{6}+O(x^5)$

$\sin(x^a)=x^a-\frac{x^{3a}}{6}+O(x^{5a})$

$(\sin x)^a =\big(x-\frac{x^3}{6}+O(x^5)\big)^a = x^a\Big(1-\frac{x^2}{6}+O(x^4)\Big)^a \approx x^a\Big(1-\frac{a}{6}x^2\Big)$

于是

$(\sin x)^a-\sin(x^a) \approx x^a\Big(1-\frac{a}{6}x^2\Big)-\Big(x^a-\frac{x^{3a}}{6}\Big) = \frac{1}{6}\big(x^{3a}-a x^{a+2}\big) = \frac{1}{6}x^{a+2}\big(x^{2a-2}-a\big)$

对 $0 < x < 1, a > 1$ 有 $x^{2a-2}<1<a$ ，所以
$x^{2a-2}-a<0$ ，从而

$sin x)^a-\sin(x^a)<0$

即

$\boxed{(\sin x)^a < \sin(x^a)\quad(x\to0^+,a>1)}$

2️⃣ $tan x)^a$ 和 $tan(x^a)$

同样在 $x\to0$ 时：

$\tan x = x+\frac{x^3}{3}+O(x^5)$

$\tan(x^a)=x^a+\frac{x^{3a}}{3}+O(x^{5a})$

$(\tan x)^a=\big(x+\frac{x^3}{3}+O(x^5)\big)^a = x^a\Big(1+\frac{x^2}{3}+O(x^4)\Big)^a \approx x^a\Big(1+\frac{a}{3}x^2\Big)$

于是

$(\tan x)^a-\tan(x^a) \approx x^a\Big(1+\frac{a}{3}x^2\Big)-\Big(x^a+\frac{x^{3a}}{3}\Big) = \frac{1}{3}\big(a x^{a+2}-x^{3a}\big) = \frac{1}{3}x^{a+2}\big(a-x^{2a-2}\big)$

对 $0 < x < 1, a > 1$ 有 $x^{2a-2}<1<a$ ，所以
$a-x^{2a-2}>0$ ，从而

$tan x)^a-\tan(x^a)>0$

即

$\boxed{(\tan x)^a > \tan(x^a)\quad(x\to0^+,a>1)}$

结论（在 $x$ 近 0、 $0 < x < 1$ 、 $a > 1$ 时）：

$(\sin x)^a < \sin(x^a),\qquad (\tan x)^a > \tan(x^a).$

解题思路2：通过构造差值函数，讨论差值函数的值域来判断

在这里插入图片描述

变上限积分函数

变上限积分函数是否一定可导？是否一定连续？

在这里插入图片描述
变上限积分函数的可导性由被积函数的连续性决定：

若被积函数连续，则变上限积分函数可导；
若被积函数不连续（仅可积），则变上限积分函数仅连续，在被积函数的间断点处不可导。

如果F(x)是f(x)的原函数，请问F(x)要满足哪些要求？

F(x)与f(x)有着相同的定义域。
F(x)在定义域内连续
如果f(x)在某点处连续，则F(x)在该点肯定可导，并且导数就是f(x)

如果导函数f(x)在定义域内无界，请问他的原函数F(x)是否可能存在？

在这里插入图片描述

如果一个函数f(x)存在原函数F(x)，但是f(x)在定义域内不是处处连续的，请问f(x)的间断点类型是？

只可能是震荡间断点！ 不可能是第一类间断点和无穷间断点。理由说明如下

首先如果 $F (x)$ 是 $f (x)$ 的原函数，那他就要满足定义，即对于定义域内任意一点 $x_0$ ，都有 $F^{'} (x) = f (x)$ ，间断点也不例外

假设 $x_0$ 是 $f (x)$ 的可去间断点，则
$\lim_{x \to x_0^+} f(x) = \lim_{x \to x_0^-} f(x) = A \neq f(x_0)$
而按照导数的定义
$F'(x_0) = A \neq f(x_0)$
这就不符合原函数的定义，出现了矛盾

假设 $x_0$ 是 $f (x)$ 的可去间断点，则
$\lim_{x \to x_0^+} f(x) =A， \lim_{x \to x_0^-} f(x) = B$
根据导数的定义， $F (x)$ 在 $x_0$ 处的导数不存在，而原函数的定义要求F(x)在定义域内处处可导，并且导数始终等于f(x)，因此也出现了矛盾