考研数学：多元函数微分学

多元函数微分学

可微的定义

设函数

$$f=f(x,y)$$

在点 $(x_0,y_0)$ 的邻域内有定义。

我们说 $f$ 在 $(x_0,y_0)$ 可微，如果存在常数 $A,B$，使得当 $(h,k)\to (0,0)$ 时：

$$f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)=Ah+Bk+o\left(\sqrt{h^2+k^2}\right).$$

其中

$$o(\rho )\text{ 是 }\rho =\sqrt{h^2+k^2}\text{ 的高阶无穷小}$$

如果偏导数 $f_x,f_y$ 在点存在，则可微条件可写成：

$$\boxed{f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)=f_x(x_0,y_0)h+f_y(x_0,y_0)k+o(\sqrt{h^2+k^2})}$$

即：

函数的增量 ≈ 线性部分 + 一个远小于距离的误差项。

线性部分就是函数的 线性近似（全微分）：

$$df=f_{x}dx+f_{y}dy.$$

⭐ 一句话总结

多元函数在某点可微，表示：
函数在该点的增量能被一个线性函数（全微分）精确逼近，其误差比距离小得多。

---

下面是多元函数微分学中几种常见说法的关系

如果一个二元函数在某点的两个偏导数都存在，请问能否推出他在该点连续？

不能！下面给你一个经典反例。

定义函数

$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{xy}{x^2+y^2},& (x,y)\ne (0,0),\\ 0,& (x,y)=(0,0).\end{array}$$

我们检查它在 $(0,0)$ 的偏导：

---

1️⃣ 计算 $f_x(0,0)$

$$f_x(0,0)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{0}{h}=0.$$

2️⃣ 计算 $f_y(0,0)$

$$f_y(0,0)=\underset{k\to 0}{\lim }\frac{f(0,k)-f(0,0)}{k}=\underset{k\to 0}{\lim }\frac{0}{k}=0.$$

所以两个偏导数都存在，且都是 0。

---

但：$f$ 在 $(0,0)$ 不连续

沿直线 $y=x$ 取极限：

$$f(x,x)=\frac{x\cdot x}{x^2+x^2}=\frac{1}{2}.$$

显然

$$\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }f(x,y)$$

不存在（至少不等于 $f(0,0)=0$）。

所以 $f$ 在该点不连续。

---

⭐ 结论（必须记住）

二元函数在某点有偏导数是很弱的条件，不能推出连续，更不能推出可微。

梯度、散度、旋度

梯度

• 定义：设函数$z=f(x,y)$在平面区域$D$内具有一阶连续偏导数，则它在点$P(x,y)$的梯度定义为向量$\text{grad}f(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}\vec{i}+\frac{\partial f}{\partial y}\vec{j}$（对于三元函数$u=f(x,y,z)$，梯度为$\text{grad}u=\frac{\partial u}{\partial x}\vec{i}+\frac{\partial u}{\partial y}\vec{j}+\frac{\partial u}{\partial z}\vec{k}$）。
• 几何意义：梯度的方向是函数在该点增长最快的方向，其模长是函数在该方向上的最大变化率。例如，在等高线图中（如图18-7(b)），梯度方向垂直于等高线$f(x,y)=h$，且指向函数值增大的一侧。
• 物理意义：可表示物理量（如温度、电势）的变化率方向，比如温度场中梯度方向是温度升高最快的方向。

散度

• 定义：设向量场$\vec{A}(x,y,z)=P(x,y,z)\vec{i}+Q(x,y,z)\vec{j}+R(x,y,z)\vec{k}$，其中$P,Q,R$具有一阶连续偏导数，则$\vec{A}$的散度定义为$\text{div}\vec{A}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$（也可表示为$\nabla \cdot \vec{A}$，其中$\nabla =\frac{\partial }{\partial x}\vec{i}+\frac{\partial }{\partial y}\vec{j}+\frac{\partial }{\partial z}\vec{k}$是哈密顿算子）。
• 物理意义：描述向量场在某点的“发散”或“汇聚”程度。若$\text{div}\vec{A}>0$，该点是“源”（如点电荷的电场在电荷处散度为正）；若$\text{div}\vec{A}<0$，该点是“汇”；若$\text{div}\vec{A}=0$，则向量场是无源场（如磁场）。

旋度

• 定义：设向量场$\vec{A}(x,y,z)=P(x,y,z)\vec{i}+Q(x,y,z)\vec{j}+R(x,y,z)\vec{k}$，其中$P,Q,R$具有一阶连续偏导数，则$\vec{A}$的旋度定义为
  $\text{rot}\vec{A}=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)\vec{i}+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)\vec{j}+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\vec{k}$
  也可表示为$\nabla \times \vec{A}$（哈密顿算子叉乘向量场）。
• 物理意义：描述向量场在某点的“旋转”强度和方向。旋度的方向由右手螺旋定则确定，模长表示单位面积上向量场的环量最大值。若$\text{rot}\vec{A}=\vec{0}$，则向量场是无旋场（如保守力场，重力场、静电场都是无旋场）；反之则是有旋场（如磁场、涡旋电场）。

方向导数

• 定义：设函数$z=f(x,y)$在点$P(x,y)$的某一邻域内有定义，自点$P$引射线$l$，在$l$上取一点$P^{\prime }(x+\Delta x,y+\Delta y)$，记$\rho =\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}$。若极限${\lim }_{\rho \to 0}\frac{f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\rho }$存在，则称此极限为函数$f(x,y)$在点$P$沿方向$l$的方向导数，记作$\frac{\partial f}{\partial l}$。对于三元函数$u=f(x,y,z)$，方向导数定义类似。

• 计算公式：若函数$f(x,y)$在点$P(x,y)$可微，方向$l$的方向余弦为$\cos \alpha ,\cos \beta$，则方向导数为
  $\frac{\partial f}{\partial l}=\frac{\partial f}{\partial x}\cos \alpha +\frac{\partial f}{\partial y}\cos \beta$
  对于三元函数，公式扩展为$\frac{\partial f}{\partial l}=\frac{\partial f}{\partial x}\cos \alpha +\frac{\partial f}{\partial y}\cos \beta +\frac{\partial f}{\partial z}\cos \gamma$（其中$\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma$是方向$l$的方向余弦）。

• 与梯度的关系：方向导数可表示为梯度与方向单位向量的点积，即$\frac{\partial f}{\partial l}=\text{grad}f\cdot {\vec{e}}_l$（其中${\vec{e}}_l$是方向$l$的单位向量）。这说明梯度方向是方向导数最大的方向，且最大方向导数的值等于梯度的模长。

• 几何与物理意义：几何上表示函数在某点沿指定方向的变化率；物理上可用于描述物理量（如温度、浓度）沿特定方向的变化速率，例如温度场中某点沿风向的温度变化率可通过方向导数计算。

拉格朗日乘数法

什么是拉格朗日乘数法？拉格朗日乘数法用来干啥的？

拉格朗日乘数法解决的问题就是：多元函数在约束条件下的极值问题

在实际问题中，我们常常需要在“满足某些限制条件”的前提下，寻找目标函数的最大值或最小值。例如：

• 经济学中：在“成本固定”的约束下，最大化产量；或在“产量固定”的约束下，最小化成本。
• 物理学中：在“能量守恒”的约束下，寻找系统的稳定状态（势能极值）。
• 几何中：寻找“到原点距离最近的椭圆上的点”（目标函数：距离；约束条件：椭圆方程）。

约束条件下的极值问题的数学本质可分为两类

问题类型	数学形式	核心特点
单个等式约束	目标函数：$f(x,y)$（或多元函数） 约束条件：$g(x,y)=0$	仅一个限制条件，且为等式
多个等式约束	目标函数：$f(x,y,z)$（或多元函数） 约束条件：$g_1(x,y,z)=0$，$g_2(x,y,z)=0$	多个限制条件，均为等式

如何用拉格朗日乘数法解决条件极值问题呢？

下面我们先以“二元函数+单个约束”为例，来具体说明如何使用拉格朗日乘数法（多元函数+多个等式约束的做法是类似的，你会二元函数+单个约束，就肯定会后面的）

步骤1：明确目标函数与约束条件
首先将实际问题转化为数学形式，确定：

• 目标函数 $f(x,y)$（需最大化或最小化的量）；
• 约束条件 $g(x,y)=0$（将约束等式整理为“右边=0”的形式）。

示例：寻找椭圆 $x^2+2y^2=1$ 上到原点距离最近的点（距离公式：$d=\sqrt{x^2+y^2}$，为简化计算，可令目标函数为 $f(x,y)=x^2+y^2$，因 $\sqrt{\cdot }$ 是单调函数，$f(x,y)$ 与 $d$ 的极值点一致）。

• 目标函数：$f(x,y)=x^2+y^2$（最小化）；
• 约束条件：$g(x,y)=x^2+2y^2-1=0$。

步骤2：构造拉格朗日函数
根据定义，引入乘数 $\lambda$，构建 $L(x,y,\lambda )$：
$$L(x,y,\lambda )=f(x,y)-\lambda \cdot g(x,y)$$

示例：
$$L(x,y,\lambda )=(x^2+y^2)-\lambda \cdot (x^2+2y^2-1)$$

步骤3：求偏导并建立方程组
对 $L$ 分别求关于 $x,y,\lambda$ 的偏导数，令偏导数等于0，得到方程组：
$$\{\begin{array}{l}\frac{\partial L}{\partial x}=0\\ \frac{\partial L}{\partial y}=0\\ \frac{\partial L}{\partial \lambda }=0\end{array}$$

示例：

1. $\frac{\partial L}{\partial x}=2x-2\lambda x=0$ → $2x(1-\lambda )=0$ （1）
2. $\frac{\partial L}{\partial y}=2y-4\lambda y=0$ → $2y(1-2\lambda )=0$ （2）
3. $\frac{\partial L}{\partial \lambda }=-(x^2+2y^2-1)=0$ → $x^2+2y^2=1$ （3）

步骤4：解方程组并验证极值
解上述方程组，得到可能的极值点 $(x,y)$，再通过实际意义或二阶导数判断其是否为最大值/最小值。

示例求解：

• 由方程（1）：$x=0$ 或 $\lambda =1$；

  • 若 $x=0$，代入方程（3）：$0+2y^2=1$ → $y=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$，此时代入方程（2）：$2\cdot (\pm \frac{\sqrt{2}}{2})\cdot (1-2\lambda )=0$ → $\lambda =\frac{1}{2}$（有效），得到点 $(0,\frac{\sqrt{2}}{2})$ 和 $(0,-\frac{\sqrt{2}}{2})$，对应的 $f(x,y)=0+(\frac{\sqrt{2}}{2}{)}^2=\frac{1}{2}$；
  • 若 $\lambda =1$，代入方程（2）：$2y(1-2\cdot 1)=-2y=0$ → $y=0$，再代入方程（3）：$x^2=1$ → $x=\pm 1$，得到点 $(1,0)$ 和 $(-1,0)$，对应的 $f(x,y)=1+0=1$。

• 验证极值：因 $f(x,y)$ 表示距离的平方，$\frac{1}{2}<1$，故 $(0,\pm \frac{\sqrt{2}}{2})$ 是“到原点最近的点”，最近距离为 $\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。

为什么我用拉格朗日乘数法能找到极值？

要理解原理，我们先从二元函数+单个约束的简单场景切入，再推广到多元情况。

1. 极值问题的几何本质：梯度平行
假设我们要解决：

• 目标函数：$z=f(x,y)$（可理解为三维空间中的曲面，其等高线为平面上的曲线族 $f(x,y)=c$，$c$ 为常数）；
• 约束条件：$g(x,y)=0$（可理解为平面上的一条曲线，即“约束曲线”）。

我们的目标是找到约束曲线 $g(x,y)=0$ 与某条等高线 $f(x,y)=c$ 的切点——因为只有在切点处，目标函数 $f(x,y)$ 才能取得极值：

• 若两者相交（非相切），则沿约束曲线移动时，$f(x,y)$ 的值会继续增大或减小，未达极值；
• 若两者相切，则在该点处，等高线 $f(x,y)=c$ 与约束曲线 $g(x,y)=0$ 的切线方向一致，即它们的法向量平行。

而函数的梯度（$\nabla f$、$\nabla g$）正是其等高线（或约束曲线）的法向量。因此，“法向量平行”可转化为数学等式：
$$\nabla f(x,y)=\lambda \cdot \nabla g(x,y)$$
其中 $\lambda$ 就是拉格朗日乘数（非零常数，用于表示两个梯度的比例关系）。

定义拉格朗日函数之后，其实把上面的式子整理整理，就是我们用到的拉格朗日乘数法
2. 拉格朗日函数：将约束问题转化为无约束问题
为了统一求解目标函数和约束条件，我们定义拉格朗日函数 $L(x,y,\lambda )$：
$$L(x,y,\lambda )=f(x,y)-\lambda \cdot g(x,y)$$

此时，“原约束问题的极值点”等价于“拉格朗日函数 $L$ 关于 $x,y,\lambda$ 的无约束极值点”。原因是：
对 $L$ 分别求关于 $x,y,\lambda$ 的偏导数，并令其等于0，得到的方程组与“梯度平行+约束条件”完全一致：

1. $\frac{\partial L}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial x}-\lambda \cdot \frac{\partial g}{\partial x}=0$ → $\frac{\partial f}{\partial x}=\lambda \cdot \frac{\partial g}{\partial x}$
2. $\frac{\partial L}{\partial y}=\frac{\partial f}{\partial y}-\lambda \cdot \frac{\partial g}{\partial y}=0$ → $\frac{\partial f}{\partial y}=\lambda \cdot \frac{\partial g}{\partial y}$
3. $\frac{\partial L}{\partial \lambda }=-g(x,y)=0$ → $g(x,y)=0$（即原约束条件）

3. 推广到多元函数与多个约束
若目标函数为 $n$ 元函数 $f(x_1,x_2,...,x_n)$，且存在 $k$ 个等式约束 $g_1(x_1,...,x_n)=0,g_2(x_1,...,x_n)=0,...,g_k(x_1,...,x_n)=0$（$k<n$，否则约束过多可能无解），则：

• 需引入 $k$ 个拉格朗日乘数 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,...,{\lambda }_k$；
• 拉格朗日函数定义为：
  $$L(x_1,...,x_n,{\lambda }_1,...,{\lambda }_k)=f(x_1,...,x_n)-\sum _{i=1}^k{\lambda }_i\cdot g_i(x_1,...,x_n)$$
• 极值点满足的条件：对 $L$ 中所有变量（$x_1,...,x_n$ 和 ${\lambda }_1,...,{\lambda }_k$）求偏导，并令其等于0，共 $n+k$ 个方程，可解出 $n+k$ 个未知数。

求函数$f(x,y)=\frac{|x|+|y|}{\sqrt{x^2+y^2}}$的值域

⭐ 第一步：化到极坐标

设

$$x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta ,r>0$$

则

$$|x|+|y|=r(|\cos \theta |+|\sin \theta |)$$

$$\sqrt{x^2+y^2}=r$$

所以函数变为仅与角度有关的：

$$f(\theta )=|\cos \theta |+|\sin \theta |$$

---

在第一象限（$\cos \theta ,\sin \theta \ge 0$）：

$$f(\theta )=\cos \theta +\sin \theta =\sqrt{2}\sin (\theta +\frac{\pi }{4})$$

所以最大值为：

$$\boxed{\sqrt{2}}$$

发生在 $\theta =\frac{\pi }{4}$（即 $x=y>0$）及其对称方向。

在第一象限的最小值发生在 $\theta =0$ 或 $\theta =\frac{\pi }{2}$：

$$f=1$$

并且由于绝对值对称，其他象限也一样。

---

最终结论

$$\boxed{1\le \frac{|x|+|y|}{\sqrt{x^2+y^2}}\le \sqrt{2}}(x,y\ne 0)$$

---

求曲线$\Gamma :\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2+z^2=3\\ x+y-z=1.\end{array}$上某一点的方向向量

---

曲线$\Gamma$是两个曲面：

• $F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-3=0$
• $G(x,y,z)=x+y-z-1=0$

的交线。在该交线上的任一点，其切向量方向等于两个曲面在该点的法向量的叉积：

$$\boxed{\mathbf{t}=\nabla F\times \nabla G}$$

因为交线方向同时垂直于两个法向量，因此是法向量叉积。

---

计算梯度

$$F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-3$$

$$\nabla F=(2x,2y,2z)$$

$$G(x,y,z)=x+y-z-1$$

$$\nabla G=(1,1,-1)$$

---

计算切向量（未单位化）

$$\mathbf{t}=\nabla F\times \nabla G=(2x,2y,2z)\times (1,1,-1)$$

直接算叉积：

$$\mathbf{t}=\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ 2x& 2y& 2z\\ 1& 1& -1\end{array}\right|$$

$$=\mathbf{i}(2y\cdot (-1)-2z\cdot 1)-\mathbf{j}(2x\cdot (-1)-2z\cdot 1)+\mathbf{k}(2x\cdot 1-2y\cdot 1)$$

简化：

$$\boxed{\mathbf{t}=(-2y-2z,2x-2z,2x-2y)}$$

这就是曲线上任一点的 切向量方向。

---

求在某个指定点 $P(x_0,y_0,z_0)$ 处的方向向量

只需把坐标代入：

$$\boxed{\mathbf{t}(P)=(-2y_0-2z_0,2x_0-2z_0,2x_0-2y_0)}$$

---

隐函数定理

二元函数的隐函数存在定理

---

原汁原味版：

---

我自己理解的版本

上面这四个条件，我们可以总结为：

1. $F(x,y)$在$P_0(x_0,y_0)$处连续，且$F(x_0,y_0)=0$
2. $F_y(x,y)$在$P_0(x_0,y_0)$处连续，且$F_y(x_0,y_0)\ne 0$

然后结论就是

1. 在区间$(x_0-\alpha ,x_0+\alpha )$上的存在隐函数$y=f(x)$
2. $y=f(x)$在区间$(x_0-\alpha ,x_0+\alpha )$上连续

隐函数定理有啥用？

如果我们通过前面的隐函数定理，判断在曲线的某点附近存在隐函数，那么就可以利用$F(x,y)$的表达式，求出隐函数在该点处的导数（通过隐函数可微性定理，不用知道隐函数$y=f(x)$的表达式）

多元函数的隐函数定理

---

原汁原味版

---

我自己理解的版本：
上面这四个条件，我们可以总结为：

1. $F(x_1,x_2,...,x_n,y)$在$P_0$处连续，且$F(P_0)=0$
2. $F(x_1,x_2,...,x_n,y)$的任意一阶偏导数（$F_{x_1},F_{x_2},...,F_{x_n},F_y$）在$P_0(x_0,y_0)$处都是连续的
3. $F_y(x_0,y_0)\ne 0$

然后结论就是

1. 在$U(P_0)$内存在隐函数$y=f(x_1,x_2,...,x_n)$
2. $y=f(x_1,x_2,...,x_n)$在$P_0$附近连续，且任意一阶偏导数（$y_{x_1},y_{x_2},...,y_{x_n}$）都存在且连续

如果我们通过上面隐函数存在定理，已经确定存在隐函数$y=f(x_1,x_2,...,x_n)$，那我们就可以通过下面的公式来计算该隐函数的一阶偏导数
$$f_{x_1}=-\frac{F_{x_1}}{F_y},f_{x_2}=-\frac{F_{x_2}}{F_y},\cdots ,f_{x_n}=-\frac{F_{x_n}}{F_y}$$

隐函数组定理

---

原汁原味版

---

我自己理解的版本：
上面这四个条件，我们可以总结为：

1. $F(x,y,u,v)$和$G(x,y,u,v)$在$P_0(x_0,y_0,u_0.z_0)$处连续，且$F(P_0)=G(P_0)=0$
2. $F$的任意一阶偏导数（$F_x,F_y,F_u,F_v$）和$G$的任意一阶偏导数在$P_0$处都是连续的
3. $J=\frac{\partial (F,G)}{\partial (u,v)}\ne 0$，其中

$$J=\frac{\partial (F,G)}{\partial (u,v)}=\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial F}{\partial u}& \frac{\partial F}{\partial v}\\ \frac{\partial G}{\partial u}& \frac{\partial G}{\partial v}\end{array}\right|$$

结论就是

1. 在$U(P_0)$内存在隐函数$u=f(x,y),v=g(x,y)$
2. $u=f(x,y),v=g(x,y)$在$U(P_0)$内连续，且存在连续一阶偏导数

如果我们通过上面隐函数存在定理，已经确定存在隐函数$u=f(x,y),v=g(x,y)$，那我们就可以通过下面的公式来计算该隐函数的一阶偏导数

$$\frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{\frac{\partial (F,G)}{\partial (x,v)}}{\frac{\partial (F,G)}{\partial (u,v)}},\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\frac{\partial (F,G)}{\partial (u,x)}}{\frac{\partial (F,G)}{\partial (u,v)}}$$

$$\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\frac{\partial (F,G)}{\partial (y,v)}}{\frac{\partial (F,G)}{\partial (u,v)}},\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{\frac{\partial (F,G)}{\partial (u,y)}}{\frac{\partial (F,G)}{\partial (u,v)}}$$

反函数组定理

反函数的单调性

只要$y=f(x)$在$(a,b)$内存在反函数$x=f^{-1}(y)$，则$y=f(x)$和$x=f^{-1}(y)$在$(a,b)$内都是单调的