原根 51nod 1135（原根）

最新推荐文章于 2019-09-01 22:58:49 发布

Guuuuuu老师儿

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分类专栏： # 数论

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本文介绍了一种求解质数最小原根的有效方法。通过质数-1的素因子分解，利用快速幂运算判断候选数值是否为原根。文章提供了完整的C++实现代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

原根

设m是正整数，a是整数，若a模m的阶等于φ(m)，则称a为模m的一个原根。（其中φ(m)表示m的欧拉函数）
给出1个质数P，找出P最小的原根。

Input
输入1个质数P(3 <= P <= 10^9)
Output
输出P最小的原根。
Sample Input

Sample Output

题意：

求一个质数的最小原根

分析：

求模素数p原根的方法：

对p-1素因子分解，即 $p-1 = p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k}$

若恒有

g p - 1 p 1 \neq 1 (m o d p)

$g^{\frac{p-1}{p_1}} \ne 1\ (mod \ p )$

成立,则g就是模p的原根。（对于合数求原根,只需要把p-1换成 $\phi(p)$ 即可）

对于这道题，从2到p-1枚举g即可

code：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 1e5+10;
bool isprime[maxn];
int prime[maxn],cnt;
void init(){
    cnt = 0;
    memset(isprime,true,sizeof(isprime));
    isprime[0] = isprime[1] = false;
    for(int i = 2; i < maxn; i++){
        if(isprime[i]){
            prime[cnt++] = i;
            for(int j = i + i; j < maxn; j += i){
                isprime[j] = false;
            }
        }
    }
}
int p[maxn],num;
void divide(int n){
    num = 0;
    for(int i = 0; i < cnt && prime[i] * prime[i] <= n; i++){
        if(n % prime[i] == 0){
            p[num++] = prime[i];
            while(n % prime[i] == 0) n /= prime[i];
        }
    }
    if(n > 1) p[num++] = n;
}
ll q_pow(ll a,ll b,ll mod){
    ll ans = 1;
    while(b){
        if(b & 1) ans = ans * a % mod;
        a = a * a % mod;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}
bool judge(ll tmp,ll P){
    for(int i = 0; i < num; i++){
        if(q_pow(tmp,(P-1)/(ll)p[i],P) == 1)
            return false;
    }
    return true;
}
int main(){
    init();
    int P;
    while(~scanf("%d",&P)){
        divide(P-1);
        for(ll i = 2; i <= P-1; i++){
            if(judge(i,(ll)P)){
                printf("%lld\n",i);
                break;
            }
        }
    }
    return 0;

}