洛谷P2290 [HNOI2004] 树的计数 分析与解答

涉及到一个数学知识点：prufer定理

Prufer 定理主要包含以下两点：

1. n 个节点的无根树（没有指定的根的树，无向无环连通图）可以唯一对应于一个 Prufer 序列，该序列的长度为 n-2
2. 不同的 Prufer 序列数量即为不同树的数量，因此： n 个不同节点的树的数量=n^(n-2)

从一棵树生成prufer序列：

1. 反复执行以下操作，直到只剩下两个节点：
   • 找到编号最小的叶子节点（度数为 1）。
   • 记录它的父节点到序列中。
   • 删除这个叶子节点。
2. 经过 n-2 次操作后，得到一个长度为n-2 的 Prufer 序列（此时树中还剩两个点）

从prufer序列还原回一棵树：

重复进行以下操作，直至点集中只剩下两个点：（初始时所有点都在点集中）

• 取出prufer序列最前面的元素x。
• 取出在点集中的、且当前不在prufer序列中的最小元素y。
• 在x,y之间连接一条边。

最后，我们在点集中剩下的两个点中连一条边。

prufer定理的推论：

Prufer 定理告诉我们，n 个节点的树与一个唯一的 Prufer 序列一一对应，而这个 Prufer 序列的长度为 n-2。

同时，每个节点 i 在 Prufer 序列中出现的次数满足：

count[i]=d_i - 1

其中 d_i 是节点 i 的度数。这意味着：

• 序列总共有 n-2 个数。
• 这些数是从 1,2,.....,n 中选取的，并且每个数 i 在 Prufer 序列中出现d_i - 1 次。

因此，计算满足给定度数分布的不同树的数量，等价于计算满足这些频次限制的 Prufer 序列的数量。

在这个问题中，还要注意判断给定度数能不能构成一棵树：
如果只有一个节点，那这个节点的度数是0

如果有超过一个节点，那没有节点度数是0

节点的度数之和=(n-1)*2，n - 1是边数，每条边贡献两个度数

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;

#define ll long long

const int maxn=150+5,N=150;

ll p[maxn][maxn],cnt[maxn],d[maxn];
ll n;

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);

    cin>>n;
    ll sum=0;int flag=1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>d[i];
        sum+=d[i];
        if(d[i]==0 && n!=1) flag=0;
    }
    if(sum!=(n-1)*2 || flag==0) cout<<0<<"\n";
    else {
        //预处理出1-150的质因子
        for(int i=1;i<=150;i++){
            int t=i;
            for(int j=2;j<=t;j++){
                while(t%j==0){
                    p[i][j]++;
                    t/=j;
                }
            }
        }
        //先累加分子的质因数
        for(int i=1;i<=n-2;i++){
            for(int j=2;j<=150;j++){
                cnt[j]+=p[i][j];
            }
        }
        //减去分母的质因数
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=d[i]-1;j++){
                for(int k=1;k<=150;k++){
                    cnt[k]-=p[j][k];
                }
            }
        }
        //计算答案
        ll ans=1;
        for(int i=2;i<=150;i++){
            ans*=pow(i,cnt[i]);
        }
        cout<<ans<<"\n";
    }
    return 0;
}