Sums of Sliding Window Maximum_abc407F分析与解答

倒着考虑，考虑每个a_i对哪些k值做出贡献，对一个a_i，定义L_i和R_i为：

 以上笔误：R_i的定义应该是：连续最多R_i个元素比a_i 小

如果得到了 L_i和R_i，我们从k的长度从小到大依次看看，a_i对ans[k]（也就是长度为k的滑动窗口的最大值的和）有几次贡献：
用maxx表示max(L_i,R_i)用minx表示min(L_i,R_i)。

发现，当k在区间[1,minx+1]，a_i对ans[k]的贡献是 k*a_i，这也是说，当k在[1,minx+1]范围内时，区间长度为多少，a_i就在多少个这么长的区间内出现。

当k在区间[minx+2,maxx+1]时，a_i对ans[k]的贡献是 (minx+1)*a_i，(minx+1)是上一个k的区间中k最大时a_i的出现次数。

当k在区间[maxx+2,minx+maxx+2]时，a_i对ans[k]的贡献是 (minx+maxx+2-k)*a_i，初始k=maxx+2时，贡献为minx*a_i，之后随着k增大贡献值越来越小，最后到0。

在图上画出以上变化过程，发现贡献值的变化率：定义G_i=a_i对ans[i]的贡献值-a_i对ans[i-1]的贡献值，G_i要么是a_i（k在第一区间），要么是0（k在第二区间），要么是-a_i（k在第三区间）。对一个a_i，用差分的方法，可以用常数时间修改这三个区间的变化率，对每个i from 1 to n，时间为O(n)，用一次前缀和计算每个点的变化率G_i，再通过变化率计算出每个点的贡献值ans[i]，这样可以把复杂度控制在O(n)。

计算L[i]和R[i]：

首先考虑一个特殊情况，如果在一个区间内有多个相同元素并且他们都是这个区间的最大值，比如：
9 1 2 3 2 3 3 9

按照之前L_i和R_i的定义，比如对最左边的那个3，其左右扩到最大，也只是区间：1 2 3 2，但实际上，最左边的3在区间1 2 3 2 3 3中也是最大值，这样会遗漏这个3的贡献。

我们略微调整L_i和R_i的定义，R_i不变，将L_i改成：连续最多L_i个元素小于等于a_i ，现在，如果一个区间中最大值有多次出现，只用最靠右的最大值计算对这个区间的贡献。

如何计算L[i]和R[i]呢？将a_i从小到大排序，如果值相同，按序号排序，也就是按照关键字（a_i,i）排序，倒着遍历排序后的序列，建立一个集合保存之前遍历过的a中元素的下标，若当前遍历到的数在原数组a中的下标是id，用lowerbound在集合中寻找大于id的最小元素和小于id的最大元素，这样找到两个边界，根据(a_i,i)排序的话，找到的边界满足以上L_i和R_i的定义。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll=long long ;

const ll maxn=2e5+10;
ll n;
ll a[maxn],L[maxn],R[maxn],slope_d[maxn],ans[maxn],slope[maxn];
struct node {
    ll v,id;
    bool operator < (const node &rhs) const {
        if(v==rhs.v) return id<rhs.id;
        return v<rhs.v;
    }
}b[maxn];

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);

    cin>>n;
    for(ll i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];

    //求L[i]和R[i]
    for(ll i=1;i<=n;i++) {
        b[i].v=a[i];b[i].id=i;
    }
    stable_sort(b+1,b+1+n);
    set<ll> s={0,n+1};  //guard
    for(ll i=n;i>=1;i--){
        ll id=b[i].id;
        set<ll>::iterator it=s.lower_bound(id);
        ll rb=*it,lb=*(--it);   //right_boundary
        ll r=rb-id-1,l=id-lb-1;
        R[id]=r;
        L[id]=l;
        s.insert(id);
    }
    /*//输出检查L_i和R_i
    for(ll i=1;i<=n;i++){
        printf("i=%lld\n",i);
        printf("L=%lld R=%lld\n",L[i],R[i]);
    }*/

    //用差分修改区间斜率
    for(ll i=1;i<=n;i++) {
        ll xmin=min(L[i],R[i]),xmax=max(L[i],R[i]);
        slope_d[1]+=a[i];
        slope_d[1+xmin+1]-=a[i];
        slope_d[1+xmax+1]-=a[i];
        slope_d[1+xmax+xmin+2]+=a[i];
    }
    //计算每个点的斜率
    for(ll i=1;i<=n;i++){
        slope[i]=slope[i-1]+slope_d[i];
    }
    //通过斜率计算一次方程的值
    for(ll i=1;i<=n;i++){
        ans[i]=ans[i-1]+slope[i];
    }


    for(ll i=1;i<=n;i++){
        cout<<ans[i]<<"\n";
    }
    return 0;
}