C++_初识欧拉降幂_洛谷P5091

原创于 2024-10-30 14:42:20 发布 · 535 阅读

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#算法 #c++

以下两张图片From : 欧拉降幂 - 爱吐水的小火龙 - 博客园，作者认为相当易懂了

应用：【模板】扩展欧拉定理 - 洛谷

不知道什么叫“扩展欧拉”，读了很长时间的数论知识背景，靠着高中数学水平也很难接受！

本文针对上题，提供简单的解法，记录几个数论结论，不涉及大量理论推演

要求在模m意义下的a的b次方（后记作 a^b %m），如果使用快速幂算法，b太大，无法用任何整数数据类型保存（比如无法用long long保存），使用上述欧拉降幂的结论，可以将

a^b %m

转化为

a^r %m 其中，r = b%φ(m)，（此后 φ(m) 记作 phi_m），r 的范围进入0至m-1，可以用int保存，当然用long long也行

注意 当r=0时，上述结论： a^b %m = a^r %m不成立，此时 a^b %m = a^phi_m %m

先求phi_m，即写出欧拉函数，请参考以下的第一篇题解：

https://www.luogu.com.cn/problem/solution/SP4141https://www.luogu.com.cn/problem/solution/SP4141

我的欧拉函数：

int elfun(int x) 
{
	int ans=x;
	for(int i=2;i*i<=x;i++)
	{
		if(x%i==0)
		{
			ans-=ans/i;
			while(x%i==0)
			{
				x=x/i;
			}
		}
	}
	if(x>1) 
		ans-=ans/x;
	return ans;
}

然后需要求 b%phi_m，此时b太大无法用任何整数类型保存，所以需要用到大数取模的方法，不作证明，过程如下：

以123456789 % 9为例（虽然123456789不算是大数，但是操作过程是一样的）

0*10+1=1 1%9 = 1

1*10+2 =12 12%9=3

3*10+3=33 33%9=6

6*10+4=64 64%9=1

1*10+5=15 15%9=6

6*10+6=66 66%9=3

3*10+7=37 37%9=1

1*10+8=18 18%9=0

0*10+9=9 9%9=0

答案取最后一个模的结果，即0

大概描述一下，就是从高位到低位，之前的模的结果乘10（起初模的结果是0），再加上这一位的数，再取模

写成函数如下：

// 计算字符串 b 对 m 的模
long long mod_large_num(const string &b, long long m) {
	long long res = 0;
	for (char digit : b) {
		res = (res * 10 + (digit - '0')) % m;  // 逐位计算
	}
	return res;
}

现在r算出来了，a也有了，使用快速幂计算a^r 即可

快速幂：

// 快速幂算法
long long binpow(long long x, long long y, long long m) {
	long long res = 1;
	x = x % m;  // 先对 x 取模（可去）
	while (y) {
		if (y & 1) {
			res = (res * x) % m;  // 如果 y 是奇数
		}
		x = (x * x) % m;  // x 平方
		y >>= 1;          // 右移一位，相当于除以 2
	}
	return res;
}