从二项分布到泊松分布：两个公式的推导及Python实现

从二项分布到泊松分布：两个公式的推导及Python实现

在概率统计中，二项分布和泊松分布是两种常用的概率分布。本文将介绍如何从二项分布推导出泊松分布，并给出两个重要公式的证明及Python实现。

一、二项分布的定义及公式

在n次独立重复试验中，成功事件发生的概率为p，失败事件发生的概率为1-p，则在n次试验中成功k次的概率为：

P(X=k)=C(n,k)*p^k*(1-p)(n-k)

其中，C(n,k)为组合数：

C(n,k)=n!/k!(n-k)!

二、证明一：当n充分大、p充分小，二项分布逼近于泊松分布

假设λ=np，当n充分大，p充分小时，有：

lim(C(n,k)p^k*(1-p)(n-k))=(lim(C(n,k)/k!))(lim(p^{k))*(lim((1-p)}(n-k)))
=(lim(n*(n-1)…(n-k+1)/k!/n^k))*(lim(np)k)(lim((1-p)^n))
=((lim(1-1/n)(1-2/n)…(1-(k-1)/n))/k!)(lim(np)^{k)*(lim((1-p)}n))
=(lim(1-1/n)(1-2/n)…(1-(k-1)/n))(lim(np)^{k)*(lim((1-p)}n))
=lim(1)(lim(np)^{k)*(lim((1-p)}n))
=(lim(np)