51nod 1355 斐波那契的最小公倍数 （数论+莫比乌斯反演）

题目描述

传送门

题目大意：斐波那契数列定义如下：
F(0) = 0 F(1) = 1
F(n) = F(n-1) + F(n-2)
给出n个正整数a1, a2,…… an，求对应的斐波那契数的最小公倍数，由于数字很大，输出Mod 1000000007的结果即可。

题解

首先需要知道斐波那契数列的一个性质

$$gcd(f[a],f[b])=f[gcd(a,b)]$$
这个怎么证明？先证明 $gcd(f[a],f[a+1])=1$
$f[0]=1,f[1]=1,gcd(f[0],f[1])=1$
利用更相减损， $gcd(f[a],f[a+1])=gcd(f[a],f[a]+f[a-1])=gcd(f[a],f[a-1])$，最终得到 $gcd(f[a],f[a+1])=gcd(f[0],f[1])$
还需要用到一个式子 $$f[n+m]=f[n+1]f[m]+f[n]f[m-1]$$
这道题有一种有趣的组合的证明方法（摘自小火车的论文）


$gcd(f[a],f[b])=gcd(f[a],f[a]f[b-a+1]+f[a-1]f[b-a])=gcd(f[a],f[a-1]f[b-a])$
因为 $gcd(f[a],f[a-1])=1$，那么 $gcd(f[a],f[b])=gcd(f[a],f[b-a])$,可以递归，就是辗转相除嘛。那么上面的问题得证。
$$lcm(f[a],f[b])={f[a]f[b]\over f[gcd(a,b)]}$$
设读入的下标构成的集合为 $S$，那么 $$lcm=\prod\limits_{T\in S ,T\neq \varnothing } f[gcd(T)]^{(-1)^{|T|-1}},其中gcd(T)表示的是集合T中所有数的最大公约数$$
然后考虑枚举 $gcd(T)=i$
$$lcm=\prod\limits_{i=1}^{max} f[i]^{\sum\limits_{T\in S ,T\neq \varnothing ,gcd(T)=i}(-1)^{|T|-1}}$$
式子的瓶颈在于 $gcd(T)=i$,我们可以利用莫比乌斯反演进行转化。
设 $g(i)={\sum\limits_{T\in S ,T\neq \varnothing ,gcd(T)=i}(-1)^{|T|-1}},h(i)=\sum\limits_{T\in S ,T\neq \varnothing, i|gcd(T)}(-1)^{|T|-1}$
$T\neq\varnothing$比较讨厌，我们发现空集比较讨厌，考虑直接提出来。然后再把指数中的 $-1$提出来，式子可以化简成 $$h(i)=1-\sum\limits_{T\in S,i|gcd(T)}(-1)^{|T|}$$
$\sum\limits_{T\in S,i|gcd(T)}(-1)^{|T|}=\sum_{i=0}^{|S|} (-1)^i*C(|S|,i),C表示组合数$
其实就是杨辉三角中某一行的偶数列的和-奇数列的和，在 $|S|\gt 0$是式子的值恒等于0
所以 $$h(i)=[下标中有i的倍数]$$
根据莫比乌斯反演 $$g(n)=\sum\limits_{d|n} h(d)*\mu({d\over n})$$
那么 $lcm=\prod\limits_{i=1}^{max}f[i]^{g[i]}$可以用 $O(n\log n)$的时间预处理 $g[i]$数组，然后再用快速幂求解。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define N 1000003
#define p 1000000007
#define LL long long
using namespace std;
int mu[N],a[N],cnt[N],h[N],g[N],n,pd[N],prime[N],f[N];
LL quickpow(LL num,int x)
{
    LL ans=1,base=num%p;
    x=(x%(p-1)+p-1)%(p-1);
    while (x) {
        if (x&1) ans=ans*base%p;
        x>>=1;
        base=base*base%p;
    }
    return ans;
}
void init(int n)
{
    mu[1]=1;
    for (int i=2;i<=n;i++) {
        if (!pd[i]) {
            prime[++prime[0]]=i;
            mu[i]=-1;
        }
        for (int j=1;j<=prime[0];j++) {
            if (prime[j]*i>n) break;
            pd[i*prime[j]]=1;
            if (i%prime[j]==0) break;
            mu[i*prime[j]]=-mu[i];
        }
    }
    f[0]=0; f[1]=1;
    for (int i=2;i<=n;i++) f[i]=(f[i-1]+f[i-2])%p;
    for (int i=1;i<=n;i++) {
        if (!h[i]) continue;
        for (int j=i;j<=n;j+=i) g[i]+=h[j]*mu[j/i];
    }
}
int main()
{
    freopen("a.in","r",stdin);
    scanf("%d",&n);
    int mx=0;
    for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]),mx=max(a[i],mx);
    for (int i=1;i<=n;i++) {
        for (int x=1;x*x<=a[i];x++)
         if (a[i]%x==0) h[x]=1,h[a[i]/x]=1;
    }
    init(mx);
    LL ans=1;
    for (int i=1;i<=mx;i++)
     ans=ans*quickpow(f[i],g[i])%p;
    printf("%lld\n",ans);
}