codeforces 585E. Present for Vitalik the Philatelist （容斥原理）

题目描述

传送门

题目大意：有n张邮票，可以从中任意选取一张，然后可以从剩下的邮票中选取任意张构成一个集合，使集合中所有邮票的价值与选取出的价值互质,且选中的集合中的元素必须不互质。

题解

这道题的容斥系数与莫比乌斯函数mu有关。
我们先从质数开始考虑，我们选出所有某个质数的倍数构成备选的集合，那么从剩下的元素中任意选一个，再从备选集合中选出任意个，构成的都是合法方案。但是我们考虑6，在计算2,3的时候其实都计算到了他。所以要用容斥来去重。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define N 10000000
#define M 500003
#define LL long long 
#define p 1000000007
using namespace std;
int pd[N+3],prime[N+3],mu[N+3],mark[N+3];
int mi[M],n,a[M];
LL ans;
void init()
{
    mu[1]=1;
    for (int i=2;i<=N;i++) {
        if (!pd[i]) {
            prime[++prime[0]]=i;
            mu[i]=-1;
        }
        for (int j=1;j<=prime[0];j++) {
            if (i*prime[j]>N) break;
            pd[i*prime[j]]=1;
            if (i%prime[j]==0) {
                mu[i*prime[j]]=0;
                break;
            }
            mu[i*prime[j]]=-mu[i];
        }
    }
    mi[0]=1;
    for (int i=1;i<=n;i++) mi[i]=mi[i-1]*2%p;
    for (int i=2;i<=N;i++) {
        int c=0;
        if (mu[i]==0) continue;
        for (int j=i;j<=N;j+=i)
         c+=mark[j];
        mu[i]=-mu[i];
        ans=(ans+(LL)mu[i]*(n-c)%p*(mi[c]-1)%p)%p;
    }
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]),mark[a[i]]++;
    init();
    printf("%I64d\n",(ans%p+p)%p);
}