cogs 2287. [HZOI 2015]疯狂的机器人（NTT优化DP）

最新推荐文章于 2021-10-25 10:41:32 发布

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#dp #优化 #ntt

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本文介绍了一道名为“疯狂的机器人”的竞赛题目的解决方案，该题目要求计算机器人在特定条件下回到原点的操作序列数量。采用卡特兰数理论结合快速傅立叶变换（NTT）优化计算过程。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述

[HZOI 2015]疯狂的机器人
★★★ 输入文件：crazy_robot.in 输出文件：crazy_robot.out 简单对比
时间限制：1 s 内存限制：512 MB
【题目描述】

现在在二维平面内原点上有一只机器人
他每次操作可以选择向右走，向左走，向下走，向上走和不走(每次如果走只能走一格）
但是由于本蒟蒻施展的大魔法，机器人不能走到横坐标是负数或者纵坐标是负数的点上
否则他就会big bang
给定操作次数n，求有多少种不同的操作序列使得机器人在操作后会回到原点
输出答案模998244353后的结果
注意如果两个操作序列存在某一时刻操作不同，则我们认为这两个操作序列不同
【输入格式】

输入n，表示操作次数
n<=100000
【输出格式】

按要求输出答案
【样例输入】

3
【样例输出】

7
【提示】

样例解释：
机器人有7种操作序列
1、不走不走不走
2、不走向右向左
3、向右不走向左
4、向右向左不走
5、不走向上向下
6、向上不走向下
7、向上向下不走

题解

因为最终要回到原点，所以向上和向下的步数相等，向左和向右的步数相等。
需要保证在行走的过程中，不能走到负数区域，那么就是在单独看向上和向下两种走法时，任意时刻向上走的步数大于等于向下走的步数，向左和向右也是同理。
这是一个经典的卡特兰数问题，如果向上和向下一共走了 $i$ 步,那么单考虑这两种走法，方案数 $g[i]$ 是 $C_i^{i/2}-C_i^{i/2+1}$ 。那么向左向右也是同理。
设一共走了i步那么不考虑不走的情况，总方案数为
$f[j]=\sum_{i=0}^j{g[i]*g[j-i]*C_j^i}$
$=\sum_{i=0}^j{{g[i]\over_i!}*{g[j-i]\over_(j-i)!}*j!}$
然后发现是卷积的形式，由于998244353是费马质数，所以我可以用NTT来加速。
最后我们只需要考虑上原地不动的就可以
$ans=\sum\limits_{i=0}^n{f[i]*C_n^i}$

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
#define N 500030
#define LL long long
#define p 998244353
using namespace std;
int n,n1,m,L;
LL f[N],g[N],jc[N],R[N];
LL quickpow(LL num,LL x)
{
    LL base=num%p; LL ans=1;
    while (x) {
        if (x&1) ans=ans*base%p;
        x>>=1;
        base=base*base%p;
    }
    return ans;
}
LL calc(LL n,LL m)
{
    if (n<m) return 0;
    return jc[n]*quickpow(jc[n-m]*jc[m]%p,p-2)%p;
}
void NTT(LL x1[N],int n,int opt)
{
    int j;
    for (int i=0;i<n;i++) 
     if (i<R[i]) swap(x1[i],x1[R[i]]);
    for (int i=1;i<n;i<<=1) {
        LL wn=quickpow(3,(p-1)/(i<<1));
        for (int p1=i<<1,j=0;j<n;j+=p1) {
            LL w=1;
            for (int k=0;k<i;k++,w=(w*wn)%p) {
                LL x=x1[j+k],y=(w*x1[j+k+i])%p;
                x1[j+k]=(x+y)%p; x1[j+k+i]=(x-y+p)%p;
            }
        }
    }
    if (opt==-1) reverse(x1+1,x1+n);
}
int main()
{
    freopen("crazy_robot.in","r",stdin);
    freopen("crazy_robot.out","w",stdout);
    scanf("%d",&n);
    jc[0]=1;
    for (int i=1;i<=n;i++) jc[i]=(jc[i-1]*(LL)i)%p;
    for (int i=1;i<=n;i++){
     if (!(i&1)) f[i]=calc(i,i/2)-calc(i,i/2+1);
     f[i]=(f[i]+p)%p;
    }
    f[0]=1;
    for (int i=0;i<=n;i++) f[i]=f[i]*quickpow(jc[i],p-2)%p;
    m=n*2; n1=0;
    for (n1=1;n1<=m;n1<<=1) L++;
    for (int i=0;i<=n1;i++) R[i]=(R[i>>1]>>1)|((i&1)<<(L-1));
    NTT(f,n1,1); //cout<<n1<<endl;
    for (int i=0;i<=n1;i++) g[i]=f[i];
    for (int i=0;i<=n1;i++) f[i]=(f[i]*g[i])%p;
    NTT(f,n1,-1);
    LL inv=quickpow(n1,p-2); 
    for (int i=0;i<=n1;i++) f[i]=f[i]*inv%p;
    for (int i=0;i<=n1;i++) f[i]=f[i]*jc[i]%p;
    LL ans=0;
    for (int i=0;i<=n;i++)
     ans=(ans+f[i]*calc(n,i)%p)%p;
    printf("%I64d\n",ans);
}