bzoj 2111: [ZJOI2010]Perm 排列计数（组合数学+Lucas定理）

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本文介绍了一个关于排列计数的问题——寻找特定条件下的Magic排列数量，并提供了一种结合组合数学与Lucas定理的解决方案。通过使用递归和预计算技巧，有效地解决了大数值下模意义下的排列计数问题。

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2111: [ZJOI2010]Perm 排列计数

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Description

称一个1,2,...,N的排列P1,P2...,Pn是Magic的，当且仅当2<=i<=N时，Pi>Pi/2. 计算1，2，...N的排列中有多少是Magic的，答案可能很大，只能输出模P以后的值

Input

输入文件的第一行包含两个整数 n和p，含义如上所述。

Output

输出文件中仅包含一个整数，表示计算1,2,⋯, ��的排列中， Magic排列的个数模 p的值。

Sample Input

20 23

Sample Output

HINT

100%的数据中，1 ≤ �� N ≤ 106, P�� ≤ 10^9，p是一个质数。数据有所加强

Source

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题解：组合数学+Lucas定理

这个题其实就是一个小根堆，因为n是固定的所以小根堆的形态也是固定的。

每次会产生不同的方案就在于两个儿子的不同选择。

f[x]=c(size[x]-1,size[x<<1])*f[x<<1]*f[x<<1|1]

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define LL long long
#define N 3000003
using namespace std;
LL f[N],p,n1,size[N],jc[N];
void init()
{
	jc[0]=jc[1]=1;
	for (LL i=2;i<=n1;i++) jc[i]=jc[i-1]*i%p;
}
LL quickpow(LL num,LL x)
{
	LL base=num%p; LL ans=1;
	while (x) {
		if (x&1) ans=ans*base%p;
		x>>=1;
		base=base*base%p;
	}
	return ans;
}
LL calc(LL n,LL m)
{
	if (m>n) return 0;
	return jc[n]*quickpow(jc[m]*jc[n-m]%p,p-2)%p;
}
LL lucas(LL n,LL m)
{
	if (!m) return 1;
	return calc(n%p,m%p)*lucas(n/p,m/p)%p;
}
void dfs(int x)
{
	size[x]=1; f[x]=1; f[x<<1]=1; f[x<<1|1]=1;
	if ((x<<1)<=n1) dfs(x<<1),size[x]+=size[x<<1];
	if ((x<<1|1)<=n1) dfs(x<<1|1),size[x]+=size[x<<1|1];
	f[x]=lucas(size[x]-1,size[x<<1])*f[x<<1]%p*f[x<<1|1]%p;
//	cout<<size[x]-1<<" "<<size[x<<1]<<" "<<lucas(size[x]-1,size[x<<1])<<endl;
//	cout<<x<<" "<<size[x]<<" "<<f[x]<<endl;
}
int main()
{
	freopen("a.in","r",stdin);
	freopen("my.out","w",stdout);
	scanf("%I64d%I64d",&n1,&p);
	init();
	memset(f,1,sizeof(f));
	dfs(1);
	printf("%I64d\n",f[1]);
}