bzoj 2597: [Wc2007]剪刀石头布（费用流）

最新推荐文章于 2018-06-05 15:34:21 发布

clover_hxy

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分类专栏：网络流

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本文探讨了一个有趣的剪刀石头布游戏问题，并通过费用流算法来解决如何安排比赛结果以获得最多的剪刀石头布情况。文章详细介绍了算法的具体实现过程。

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2597: [Wc2007]剪刀石头布

Time Limit: 20 Sec Memory Limit: 128 MBSec Special Judge
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Description

在一些一对一游戏的比赛（如下棋、乒乓球和羽毛球的单打）中，我们经常会遇到 A 胜过 B ， B 胜过 C 而 C 又胜过 A 的有趣情况，不妨形象的称之为剪刀石头布情况。有的时候，无聊的人们会津津乐道于统计有多少这样的剪刀石头布情况发生，即有多少对无序三元组 (A, B, C) ，满足其中的一个人在比赛中赢了另一个人，另一个人赢了第三个人而第三个人又胜过了第一个人。注意这里无序的意思是说三元组中元素的顺序并不重要，将 (A, B, C) 、 (A, C, B) 、 (B, A, C) 、 (B, C, A) 、 (C, A, B) 和 (C, B, A) 视为相同的情况。

有 N 个人参加一场这样的游戏的比赛，赛程规定任意两个人之间都要进行一场比赛：这样总共有场比赛。比赛已经进行了一部分，我们想知道在极端情况下，比赛结束后最多会发生多少剪刀石头布情况。即给出已经发生的比赛结果，而你可以任意安排剩下的比赛的结果，以得到尽量多的剪刀石头布情况。

Input

输入文件的第 1 行是一个整数 N ，表示参加比赛的人数。

之后是一个 N 行 N 列的数字矩阵：一共 N 行，每行 N 列，数字间用空格隔开。

在第 (i+1) 行的第 j 列的数字如果是 1 ，则表示 i 在已经发生的比赛中赢了 j ；该数字若是 0 ，则表示在已经发生的比赛中 i 败于 j ；该数字是 2 ，表示 i 和 j 之间的比赛尚未发生。数字矩阵对角线上的数字，即第 (i+1) 行第 i 列的数字都是 0 ，它们仅仅是占位符号，没有任何意义。

输入文件保证合法，不会发生矛盾，当 i≠j 时，第 (i+1) 行第 j 列和第 (j+1) 行第 i 列的两个数字要么都是 2 ，要么一个是 0 一个是 1 。

Output

输出文件的第 1 行是一个整数，表示在你安排的比赛结果中，出现了多少剪刀石头布情况。

输出文件的第 2 行开始有一个和输入文件中格式相同的 N 行 N 列的数字矩阵。第 (i+1) 行第 j 个数字描述了 i 和 j 之间的比赛结果， 1 表示 i 赢了 j ， 0 表示 i 负于 j ，与输入矩阵不同的是，在这个矩阵中没有表示比赛尚未进行的数字 2 ；对角线上的数字都是 0 。输出矩阵要保证合法，不能发生矛盾。

Sample Input

3
0 1 2
0 0 2
2 2 0

Sample Output

1
0 1 0
0 0 1
1 0 0

HINT

100%的数据中，N≤ 100。

Source

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题解：费用流

最大化(A,B,C)三元组的数量其实就是最小化不满足(A,B,C)的数量。

如果满足(A,B,C)那么三个人各赢了一次，如果不满足的话只需要让其中一个人赢两次即可。

那么容易求出不满足(A,B,C)的数量就是sigma w[i]*(w[i]-1)/2 ，其中w[i]表示的是第i个人赢的总场数。

现在考虑如果最小化上式的值。先考虑求出一个合法的分配方案。

对应没有确定输赢的对决c(i,j)建立节点，每个人pi

s->c(i,j) 容量为1

c(i,j)->pi 容量为1

c(i,j)->pj 容量为1

pi->T 容量为n-1-w[i]，因为每次人最多打n-1场,已经赢了w[i]场，那么最多再赢n-1-w[i]场。

这样我们只要最后看c(i,j)->pi,c(i,j)->pj那一条边满流就能确定出i,j谁胜谁负，从而确定合法的方案。

那如果我们现在要求sigma w[i]*(w[i]-1)/2最小呢？可以将某些边加上费用。

pi->T因为我们不确定最终会再赢多少场，每赢一场增加的费用是不同，对于第i场，再i-1场的基础上再赢一场，会增加i*(i-1)/2-(i-1)*(i-2)/2 ,所以我们考虑拆边，将容量都设为1，然后费用依次是i*(i-1)/2-(i-1)*(i-2)/2。注意刚开始已经赢的w[i]也要算上。

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<queue>
#define N 203
#define M 100003
#define inf 1000000000
using namespace std;
int a[N][N],n,map[N][N],s,t,tot,pos[N][N];
int point[M],next[M],v[M],remain[M],c[M],dis[M],can[M];
int last[M],cur[M],deep[M],num[M],w[M],ans;
void add(int x,int y,int z,int k)
{
	tot++; next[tot]=point[x]; point[x]=tot; v[tot]=y; remain[tot]=z; c[tot]=k;
	tot++; next[tot]=point[y]; point[y]=tot; v[tot]=x; remain[tot]=0; c[tot]=-k;
	//cout<<x<<" "<<y<<" "<<z<<" "<<k<<endl;
}
int addflow(int s,int t)
{
	int now=t; int ans=inf;
	while (now!=s) {
		ans=min(ans,remain[last[now]]);
		now=v[last[now]^1];
	}
	now=t;
	while (now!=s) {
		remain[last[now]]-=ans;
		remain[last[now]^1]+=ans;
		now=v[last[now]^1];
	}
	return ans;
}
bool spfa(int s,int t)
{
	queue<int> p;
	for (int i=s;i<=t;i++) dis[i]=inf,can[i]=0;
	dis[s]=0; can[s]=1; p.push(s);
	while (!p.empty()) {
		int now=p.front(); p.pop();
		for (int i=point[now];i!=-1;i=next[i])
		 if (dis[v[i]]>dis[now]+c[i]&&remain[i]){
		 	dis[v[i]]=dis[now]+c[i];
		 	last[v[i]]=i;
		 	if (!can[v[i]]) {
		 		can[v[i]]=1;
		 		p.push(v[i]);
			 }
		 }
		can[now]=0;
	}
	if (dis[t]==inf) return false; 
	int flow=addflow(s,t);
	ans+=flow*dis[t];
	return true;
}
void solve(int s,int t)
{
	while (spfa(s,t));
}
int main()
{
	freopen("a.in","r",stdin);
	scanf("%d",&n);
	int cnt=1;
	s=1;
	tot=-1;
	memset(point,-1,sizeof(point));
	for (int i=1;i<=n;i++) 
	 for (int j=1;j<=n;j++) 
	 {
	  scanf("%d",&a[i][j]);
	  if (a[i][j]==1)  w[i]++;
	  else if(a[i][j]==2&&i<j) map[i][j]=++cnt;
     }
    /*for (int i=1;i<=n;i++){
	 	for (int j=1;j<=n;j++)
	 	 printf("%d ",map[i][j]);
	 	printf("\n");
	 }*/
    int base=n*n+1;
    for (int i=1;i<=n-1;i++)
     for (int j=i+1;j<=n;j++)
      if (map[i][j]) {
      	 add(s,map[i][j],1,0);
      	 add(map[i][j],base+i,1,0); pos[i][j]=tot;
      	 add(map[i][j],base+j,1,0);
	  }
	t=base+n+1;
	for (int i=1;i<=n;i++) 
	 {
	 	int t1=w[i]-1; ans+=w[i]*(w[i]-1)/2;
	 	for (int j=1;j<=n-1-w[i];j++)
	 	 add(base+i,t,1,t1+j);
	 }
	solve(s,t);
	printf("%d\n",n*(n-1)*(n-2)/6-ans);
	for (int i=1;i<=n;i++)
	 for (int j=1;j<=n;j++)
	  if (map[i][j]) {
	  	int k=remain[pos[i][j]^1];
	  	if (k) a[i][j]=0,a[j][i]=1;
	  	else a[i][j]=1,a[j][i]=0;
	  }
	for (int i=1;i<=n;i++){
	 	for (int j=1;j<=n;j++)
	 	 printf("%d ",a[i][j]);
	 	printf("\n");
	 }
}