bzoj 2597: [Wc2007]剪刀石头布（费用流）

2597: [Wc2007]剪刀石头布

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Description

在一些一对一游戏的比赛（如下棋、乒乓球和羽毛球的单打）中，我们经常会遇到 A 胜过 B ， B 胜过 C 而 C 又胜过 A 的有趣情况，不妨形象的称之为剪刀石头布情况。有的时候，无聊的人们会津津乐道于统计有多少这样的剪刀石头布情况发生，即有多少对无序三元组 (A, B, C) ，满足其中的一个人在比赛中赢了另一个人，另一个人赢了第三个人而第三个人又胜过了第一个人。注意这里无序的意思是说三元组中元素的顺序并不重要，将 (A, B, C) 、 (A, C, B) 、 (B, A, C) 、 (B, C, A) 、 (C, A, B) 和 (C, B, A) 视为相同的情况。

有 N 个人参加一场这样的游戏的比赛，赛程规定任意两个人之间都要进行一场比赛：这样总共有 场比赛。比赛已经进行了一部分，我们想知道在极端情况下，比赛结束后最多会发生多少剪刀石头布情况。即给出已经发生的比赛结果，而你可以任意安排剩下的比赛的结果，以得到尽量多的剪刀石头布情况。

Input

输入文件的第 1 行是一个整数 N ，表示参加比赛的人数。

之后是一个 N 行 N 列的数字矩阵：一共 N 行，每行 N 列，数字间用空格隔开。

在第 (i+1) 行的第 j 列的数字如果是 1 ，则表示 i 在已经发生的比赛中赢了 j ；该数字若是 0 ，则表示在已经发生的比赛中 i 败于 j ；该数字是 2 ，表示 i 和 j 之间的比赛尚未发生。数字矩阵对角线上的数字，即第 (i+1) 行第 i 列的数字都是 0 ，它们仅仅是占位符号，没有任何意义。

输入文件保证合法，不会发生矛盾，当 i≠j 时，第 (i+1) 行第 j 列和第 (j+1) 行第 i 列的两个数字要么都是 2 ，要么一个是 0 一个是 1 。

Output

输出文件的第 1 行是一个整数，表示在你安排的比赛结果中，出现了多少剪刀石头布情况。

输出文件的第 2 行开始有一个和输入文件中格式相同的 N 行 N 列的数字矩阵。第 (i+1) 行第 j 个数字描述了 i 和 j 之间的比赛结果， 1 表示 i 赢了 j ， 0 表示 i 负于 j ，与输入矩阵不同的是，在这个矩阵中没有表示比赛尚未进行的数字 2 ；对角线上的数字都是 0 。输出矩阵要保证合法，不能发生矛盾。

Sample Input

3
0 1 2
0 0 2
2 2 0

Sample Output

1
0 1 0
0 0 1
1 0 0

HINT

100%的数据中，N≤ 100。

Source

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题解：费用流

最大化(A,B,C)三元组的数量其实就是最小化不满足(A,B,C)的数量。

如果满足(A,B,C)那么三个人各赢了一次，如果不满足的话只需要让其中一个人赢两次即可。

那么容易求出不满足(A,B,C)的数量就是sigma w[i]*(w[i]-1)/2 ，其中w[i]表示的是第i个人赢的总场数。

现在考虑如果最小化上式的值。先考虑求出一个合法的分配方案。

对应没有确定输赢的对决c(i,j)建立节点，每个人pi

s->c(i,j) 容量为1

c(i,j)->pi 容量为1

c(i,j)->pj 容量为1

pi->T 容量为n-1-w[i]，因为每次人最多打n-1场,已经赢了w[i]场，那么最多再赢n-1-w[i]场。

这样我们只要最后看c(i,j)->pi,c(i,j)->pj那一条边满流就能确定出i,j谁胜谁负，从而确定合法的方案。

那如果我们现在要求sigma w[i]*(w[i]-1)/2最小呢？可以将某些边加上费用。

pi->T因为我们不确定最终会再赢多少场，每赢一场增加的费用是不同，对于第i场，再i-1场的基础上再赢一场，会增加i*(i-1)/2-(i-1)*(i-2)/2 ,所以我们考虑拆边，将容量都设为1，然后费用依次是i*(i-1)/2-(i-1)*(i-2)/2。注意刚开始已经赢的w[i]也要算上。

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<queue>
#define N 203
#define M 100003
#define inf 1000000000
using namespace std;
int a[N][N],n,map[N][N],s,t,tot,pos[N][N];
int point[M],next[M],v[M],remain[M],c[M],dis[M],can[M];
int last[M],cur[M],deep[M],num[M],w[M],ans;
void add(int x,int y,int z,int k)
{
	tot++; next[tot]=point[x]; point[x]=tot; v[tot]=y; remain[tot]=z; c[tot]=k;
	tot++; next[tot]=point[y]; point[y]=tot; v[tot]=x; remain[tot]=0; c[tot]=-k;
	//cout<<x<<" "<<y<<" "<<z<<" "<<k<<endl;
}
int addflow(int s,int t)
{
	int now=t; int ans=inf;
	while (now!=s) {
		ans=min(ans,remain[last[now]]);
		now=v[last[now]^1];
	}
	now=t;
	while (now!=s) {
		remain[last[now]]-=ans;
		remain[last[now]^1]+=ans;
		now=v[last[now]^1];
	}
	return ans;
}
bool spfa(int s,int t)
{
	queue<int> p;
	for (int i=s;i<=t;i++) dis[i]=inf,can[i]=0;
	dis[s]=0; can[s]=1; p.push(s);
	while (!p.empty()) {
		int now=p.front(); p.pop();
		for (int i=point[now];i!=-1;i=next[i])
		 if (dis[v[i]]>dis[now]+c[i]&&remain[i]){
		 	dis[v[i]]=dis[now]+c[i];
		 	last[v[i]]=i;
		 	if (!can[v[i]]) {
		 		can[v[i]]=1;
		 		p.push(v[i]);
			 }
		 }
		can[now]=0;
	}
	if (dis[t]==inf) return false; 
	int flow=addflow(s,t);
	ans+=flow*dis[t];
	return true;
}
void solve(int s,int t)
{
	while (spfa(s,t));
}
int main()
{
	freopen("a.in","r",stdin);
	scanf("%d",&n);
	int cnt=1;
	s=1;
	tot=-1;
	memset(point,-1,sizeof(point));
	for (int i=1;i<=n;i++) 
	 for (int j=1;j<=n;j++) 
	 {
	  scanf("%d",&a[i][j]);
	  if (a[i][j]==1)  w[i]++;
	  else if(a[i][j]==2&&i<j) map[i][j]=++cnt;
     }
    /*for (int i=1;i<=n;i++){
	 	for (int j=1;j<=n;j++)
	 	 printf("%d ",map[i][j]);
	 	printf("\n");
	 }*/
    int base=n*n+1;
    for (int i=1;i<=n-1;i++)
     for (int j=i+1;j<=n;j++)
      if (map[i][j]) {
      	 add(s,map[i][j],1,0);
      	 add(map[i][j],base+i,1,0); pos[i][j]=tot;
      	 add(map[i][j],base+j,1,0);
	  }
	t=base+n+1;
	for (int i=1;i<=n;i++) 
	 {
	 	int t1=w[i]-1; ans+=w[i]*(w[i]-1)/2;
	 	for (int j=1;j<=n-1-w[i];j++)
	 	 add(base+i,t,1,t1+j);
	 }
	solve(s,t);
	printf("%d\n",n*(n-1)*(n-2)/6-ans);
	for (int i=1;i<=n;i++)
	 for (int j=1;j<=n;j++)
	  if (map[i][j]) {
	  	int k=remain[pos[i][j]^1];
	  	if (k) a[i][j]=0,a[j][i]=1;
	  	else a[i][j]=1,a[j][i]=0;
	  }
	for (int i=1;i<=n;i++){
	 	for (int j=1;j<=n;j++)
	 	 printf("%d ",a[i][j]);
	 	printf("\n");
	 }
}