bzoj 1297: [SCOI2009]迷路（矩阵优化DP）

1297: [SCOI2009]迷路

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Description

windy在有向图中迷路了。 该有向图有 N 个节点，windy从节点 0 出发，他必须恰好在 T 时刻到达节点 N-1。 现在给出该有向图，你能告诉windy总共有多少种不同的路径吗？ 注意：windy不能在某个节点逗留，且通过某有向边的时间严格为给定的时间。

Input

第一行包含两个整数，N T。 接下来有 N 行，每行一个长度为 N 的字符串。 第i行第j列为'0'表示从节点i到节点j没有边。 为'1'到'9'表示从节点i到节点j需要耗费的时间。

Output

包含一个整数，可能的路径数，这个数可能很大，只需输出这个数除以2009的余数。

Sample Input

【输入样例一】
2 2
11
00

【输入样例二】
5 30
12045
07105
47805
12024
12345

Sample Output

【输出样例一】
1

【样例解释一】
0->0->1

【输出样例二】
852

HINT

30%的数据，满足 2 <= N <= 5 ； 1 <= T <= 30 。 100%的数据，满足 2 <= N <= 10 ； 1 <= T <= 1000000000 。

Source

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题解：矩阵优化dp

这道题因为有边的长度差别，所以不能直接用图邻接矩阵进行矩阵快速幂。但是我们发现数据范围中的N只有10，并且边权不超过9，所以我们可以把每个点拆成9个点，如果第一个点到第二个点的边权为2，那么就从第一个点所拆成的第二个点向第二个点所属的第一个点连一个长度为1的边，注意一个点所属的9个点之间是i-1->i连边，如果读入的矩阵[i][i]=x 那么就从这个点所属的第x个点连向第一个点。然后就可以用矩阵快速幂搞了。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define N 103
#define p 2009
using namespace std;
int n,m,tot;
char s[100];
struct data
{
	int a[N][N];
}e;
void clear(data &x)
{
	for (int i=1;i<=tot;i++)
	 for (int j=1;j<=tot;j++)
	  x.a[i][j]=0;
}
void change(data &a,data b)
{
	for (int i=1;i<=tot;i++)
	 for (int j=1;j<=tot;j++)
	  a.a[i][j]=b.a[i][j];
}
data mul(data a,data b)
{
	data c;
	for (int i=1;i<=tot;i++)
	 for (int j=1;j<=tot;j++)
	  {
	  	c.a[i][j]=0;
	  	for (int k=1;k<=tot;k++)
	  	 c.a[i][j]=(c.a[i][j]+a.a[i][k]*b.a[k][j]%p)%p;
	  }
	return c;
}
data pow(data num,int x)
{
	data ans; clear(ans);
	for (int i=1;i<=tot;i++) ans.a[i][i]=1;
	data base; change(base,num);
	while(x)
	{
		if (x&1)  ans=mul(ans,base);
		x>>=1;
		base=mul(base,base);
	}
    return ans;
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%s",s+1);
		for (int j=1;j<=n;j++)
		{
			int x=s[j]-'0';
			if (x)   e.a[(i-1)*9+x][9*(j-1)+1]=1;
		}
	}
	for (int i=1;i<=n;i++)
	 {
	 	int x=(i-1)*9+1;
	 	for (int j=1;j<=8;j++)
	 	 e.a[x+j-1][x+j]=1;
	 }
	tot=9*n;
	data ans=pow(e,m);
	printf("%d\n",ans.a[1][(n-1)*9+1]%p);
}