bzoj 3156: 防御准备（斜率优化）

最新推荐文章于 2020-08-24 20:51:16 发布

clover_hxy

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分类专栏：动态规划

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本文介绍了一道经典的斜率优化动态规划问题，通过详细解释算法思路和提供完整代码实现，帮助读者理解如何利用斜率优化技巧降低动态规划的时间复杂度。

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3156: 防御准备

Time Limit: 10 Sec Memory Limit: 512 MB
Submit: 971 Solved: 457
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Description

Input

第一行为一个整数N表示战线的总长度。

第二行N个整数，第i个整数表示在位置i放置守卫塔的花费Ai。

Output

共一个整数，表示最小的战线花费值。

Sample Input

10
2 3 1 5 4 5 6 3 1 2

Sample Output

HINT

1<=N<=10^6,1<=Ai<=10^9

Source

Katharon+#1

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题解：斜率优化dp

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define N 1000003
#define ll long long
using namespace std;
ll n,a[N],f[N],q[N],dis[N],sum[N];
ll K(ll j)
{
	return -dis[j];
}
ll B(ll j)
{
	return f[j]-sum[j]+dis[j]*j;
}
ll calc(ll j,ll i)
{
	return K(j)*(i-1)+B(j);
}
bool pd(ll x1,ll x2,ll x3)
{
	ll w1=(K(x1)-K(x3))*(B(x2)-B(x1));
	ll w2=(K(x1)-K(x2))*(B(x3)-B(x1));
	return w1>=w2;
}
int main()
{
	scanf("%lld",&n);
	for (ll i=1;i<=n;i++)
	 scanf("%lld",&a[n-i+1]);
	for (int i=1;i<=n;i++)
	 dis[i]=i-1;
	for (int i=1;i<=n;i++)
	 sum[i]=sum[i-1]+dis[i];
	ll head=0,tail=0;
	f[1]=a[1]; q[tail]=1;
 	for (ll i=2;i<=n;i++)
	 {
	 	while (head<tail&&calc(q[head],i)>=calc(q[head+1],i))
	 	 head++;
	 	f[i]=calc(q[head],i)+a[i]+sum[i-1];
	 	if (i==n)
	 	{
	 	 ll j=q[head]; ll t=f[j]+sum[i]-sum[j]-dis[j]*(i-j);
	 	 f[i]=min(f[i],t);
	    }
	 	while (head<tail&&pd(i,q[tail-1],q[tail]))
	 	 tail--;
	 	tail++; q[tail]=i;
	 }
	printf("%lld\n",f[n]);
	return 0;
}