18、脑癌肿瘤生长与纳米流体流动传热的数学模型分析

脑癌肿瘤生长与纳米流体流动传热的数学模型分析

脑癌肿瘤生长的数学模型

在研究脑癌肿瘤生长方面，我们聚焦于基于时间分数阶的肿瘤生长模型。该模型的核心在于，癌细胞的净杀伤率仅与时间相关。其数学表达为一个时间分数阶微分方程，并带有特定的初始条件：
[
\begin{cases}
\frac{\partial^{\alpha}u(x, t)}{\partial t^{\alpha}} = \frac{\partial^{2}u(x, t)}{\partial x^{2}} - t^{2}u(x, t) \
u(x, 0) = e^{kx} ; 0 \leq \alpha \leq 1
\end{cases}
]
这里的 $\alpha$ 是模型的分数阶导数。为求解此问题，我们运用了简化的微分变换方法。

简化微分变换是一种强大的数学工具，它能将复杂的微分方程转化为更易于处理的形式。对于不同的函数，其简化微分变换具有特定的规则，如下表所示：
| 函数 | 简化微分变换 |
| — | — |
| $u(x, t)$ | $U_{k}(x) = \frac{1}{\Gamma (k\alpha + 1)} D_{t}^{k}u(x, t) \big| {t = 0}$ |
| $w(x, t) = u(x, t) \pm v(x, t)$ | $W {k}(x) = U_{k}(x) \pm V_{k}(x)$ |
| $w(x, t) = \alpha u(x, t)$ | $W_{k}(x) = \alpha U_{k}(x)$ |
| $w(x, t) =